《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

如图1-16,电信部门要在S区修建一座信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等,该发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.

答案： 【解析】：
本题主要考查线段垂直平分线和角平分线的性质。
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
根据题意，发射塔到两个城镇$A$，$B$的距离必须相等，所以发射塔应建在$AB$的垂直平分线上；
发射塔到两条高速公路$m$和$n$的距离也必须相等，所以发射塔还应建在$m$，$n$夹角的平分线上。
那么发射塔的位置就是$AB$的垂直平分线与$m$，$n$夹角平分线的交点处。
作$AB$的垂直平分线：分别以$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线，此直线即为$AB$的垂直平分线。
作$m$，$n$夹角的平分线：以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交$m$，$n$于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧相交于角内部一点，过角顶点和这个交点作射线，此射线即为$m$，$n$夹角的平分线。
$AB$垂直平分线与$m$，$n$夹角平分线的交点即为发射塔的位置。
【答案】：
解：分别作线段$AB$的垂直平分线和$\angle MON$（$O$为$m$，$n$交点）的平分线，它们的交点$P$即为发射塔应修建的位置。图略。

例1 如图1-17,在△ABC中,AD是角平分线,BD= CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:BE= CF.

答案： 【解析】：
本题可根据角平分线的性质得到$DE = DF$，再结合已知条件$BD = CD$，利用全等三角形的判定定理和性质来证明$BE = CF$。
【答案】：
证明：
∵$AD$是角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE = DF$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，
$\begin{cases}BD = CD\\DE = DF\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理（$HL$）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，
∴$BE = CF$。

例2 如图1-18,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.直线AD是线段EF的垂直平分线吗？为什么？

答案： 【解析】：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定以及全等三角形的判定与性质等知识点。
首先，根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知$AD$是$\bigtriangleup ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$DE = DF$。
然后，考虑点$D$到线段$EF$两端点的距离。
在$Rt\bigtriangleup AED$和$Rt\bigtriangleup AFD$中，$AD$是公共边，$DE = DF$，根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理，可得$Rt\bigtriangleup AED\cong Rt\bigtriangleup AFD$，所以$AE = AF$。
接着，根据线段垂直平分线的判定定理，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因为$DE = DF$，$AE = AF$，所以点$D$和点$A$都在线段$EF$的垂直平分线上。
而两点确定一条直线，所以直线$AD$是线段$EF$的垂直平分线。
【答案】：
证明：
∵$AD$是$\bigtriangleup ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
∴$DE = DF$（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
在$Rt\bigtriangleup AED$和$Rt\bigtriangleup AFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DE = DF\end{array}\right.$
∴$Rt\bigtriangleup AED\cong Rt\bigtriangleup AFD(HL)$，
∴$AE = AF$。
∵$DE = DF$，$AE = AF$，
∴直线$AD$是线段$EF$的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。