《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

4. 如图,∠A= ∠B= 90°,点E在AB上,AE= BC,DE= CE.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？说明理由.
(2)△CDE是直角三角形吗？说明理由.

答案：
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等。
证明：
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE和△BEC都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∵AE=BC，DE=CE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）。
(2)△CDE是直角三角形。
证明：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠ADE=∠BEC。
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴△CDE是直角三角形。

5. 如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC和AB上的高,BD= CE.求证:BE= CD.

答案： 【解析】：本题可根据直角三角形全等的判定定理“HL”来证明$Rt \bigtriangleup BEC ≌ Rt \bigtriangleup CDB$，进而得出$BE = CD$。
已知$BD$，$CE$分别是边$AC$和$AB$上的高，所以$\angle BEC = \angle CDB = 90^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup BEC$和$Rt \bigtriangleup CDB$中，$BD = CE$（已知），$BC$为两个直角三角形的公共边，即$BC = CB$。
根据直角三角形全等的判定定理“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得$Rt \bigtriangleup BEC ≌ Rt \bigtriangleup CDB$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BE = CD$。
【答案】：
证明：
∵$BD$，$CE$分别是边$AC$，$AB$上的高，
∴$\angle BEC = \angle CDB = 90^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup BEC$和$Rt \bigtriangleup CDB$中，
$\begin{cases} BD = CE \\ BC = CB \end{cases}$
∴$Rt \bigtriangleup BEC ≌ Rt \bigtriangleup CDB(HL)$。
∴$BE = CD$。

6. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在边AC上,AD,BE相交于点H,且BH= AC,DH= DC.BE与AC有怎样的位置关系？证明你的结论.

答案： 证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△BDH和Rt△ADC中，
BH=AC，DH=DC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC（HL）。
∴∠HBD=∠CAD。
∵∠HBD+∠BHD=90°，∠BHD=∠AHE，
∴∠CAD+∠AHE=90°。
∴∠AEH=90°，即BE⊥AC。
结论：BE⊥AC。

7. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 5,PQ= AB,P,Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动.点P运动到线段AC上什么位置时,点A,P,Q组成的三角形与Rt△ABC全等？

答案： 【解析】：
本题可根据全等三角形的判定定理，结合已知条件找出使得$\triangle APQ$与$Rt\triangle ABC$全等的情况，进而确定点$P$在线段$AC$上的位置。
已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$PQ = AB$，$AQ\perp AC$，即$\angle QAP = 90^{\circ}=\angle C$。
全等三角形有以下几种判定情况：
当$AP = BC = 5$时：
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle QPA$中，$AB = PQ$，$BC = AP$，根据“$HL$”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），因为$AB = PQ$，$BC = AP$且$\angle C=\angle QAP = 90^{\circ}$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle QPA$。
当$AP = AC = 10$时：
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle PAQ$中，$AB = PQ$，$AC = AP$，同样根据“$HL$”，因为$AB = PQ$，$AC = AP$且$\angle C=\angle QAP = 90^{\circ}$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle PAQ$。
【答案】：
当$AP = 5$或$AP = 10$时，$\triangle APQ$与$Rt\triangle ABC$全等。
即点$P$运动到$AC$中点处或点$C$处时，$\triangle APQ$与$Rt\triangle ABC$全等。