《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

4. 如图,AB= AD,∠C= ∠E,且∠BAE= ∠DAC.求证:△ABC≌△ADE.

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定定理。题目已知条件有$AB = AD$，$\angle C=\angle E$，$\angle BAE=\angle DAC$，需要通过这些条件证明$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。我们可以通过对$\angle BAE=\angle DAC$进行等式变形，得到一组相等的角，再结合已知的边和角，利用“$AAS$”（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）来证明两个三角形全等。
【答案】：证明：
∵$\angle BAE=\angle DAC$，
∴$\angle BAE-\angle CAE=\angle DAC - \angle CAE$（等式两边同时减去同一个角$\angle CAE$），
即$\angle BAC=\angle DAE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\begin{cases}\angle C=\angle E\\\angle BAC=\angle DAE\\AB = AD\end{cases}$
∴$\triangle ABC\cong\triangle ADE(AAS)$。

5. 如图,AD//BC,∠BAD= 90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与AD相交于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F.线段BF与图中已有的哪一条线段相等？将猜想出的结论填写在下面的横线上并证明.
结论:BF= AB.

答案： BF=AB
证明：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC。
∵∠BAD=90°，CF⊥BE，
∴∠BAE=∠CFB=90°。
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AD相交于点E，
∴BE=BC。
在△BAE和△CFB中，
∠AEB=∠FBC，
∠BAE=∠CFB，
BE=CB，
∴△BAE≌△CFB（AAS），
∴BF=AB。

6. 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点E,F分别在边AB,AC上,∠AED= ∠CFD.求证:DE= DF.

答案： 解：过点$D$作$DM\perp AB$于点$M$，$DN\perp AC$于点$N$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DM = DN$。
因为$\angle AED+\angle MED = 180^{\circ}$，$\angle CFD+\angle NFD = 180^{\circ}$，又因为$\angle AED=\angle CFD$，所以$\angle MED=\angle NFD$。
在$\triangle DEM$和$\triangle DFN$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DME=\angle DNF = 90^{\circ}\\\angle MED=\angle NFD\\DM = DN\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle DEM\cong\triangle DFN$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$DE = DF$。

7. 如图,∠D= ∠BAC= ∠E,AB= AC.探索DE,BD,CE之间的长度关系,并说明理由.

答案： 【解析】：本题可根据已知条件，通过证明三角形全等，进而得出线段之间的长度关系。考查的知识点是全等三角形的判定与性质。解题的关键在于利用给定的角相等关系以及边的条件，构造出全等三角形。
【答案】：解：$DE = BD + CE$。理由如下：
∵$\angle D=\angle BAC=\angle E$，$\angle BAD+\angle CAE = 180^{\circ}-\angle BAC$，$\angle CAE+\angle ECA = 180^{\circ}-\angle E$，且$\angle BAC=\angle E$，
∴$\angle BAD=\angle ECA$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，
$\begin{cases}\angle D=\angle E\\\angle BAD=\angle ECA\\AB = AC\end{cases}$
∴$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
∴$BD = AE$，$AD = CE$。
∵$DE=AD + AE$，
∴$DE = BD + CE$。