《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

6. 如图,在△ABC中,AB= AC,点D,E分别在边AB,AC上,CD,BE相交于点F,且∠ABE= ∠ACD.
(1)求证：△ABE≌△ACD.
(2)求证：DF= EF.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查全等三角形的判定定理中的“角边角”定理。在△$ABE$和△$ACD$中，已知$AB=AC$，∠$A$是公共角，∠$ABE$=∠$ACD$，所以可以根据“角边角”定理判定△$ABE$≌△$ACD$。
(2) 由
(1)可知△$ABE$≌△$ACD$，所以$AE=AD$，又因为$AB=AC$，所以$BD=CE$。在△$DBF$和△$ECF$中，∠$BFD$=∠$CFE$（对顶角相等），∠$DBF$=∠$ECF$（已知条件），$BD=CE$（已证），所以可以根据“角角边”定理判定△$DBF$≌△$ECF$，从而得出$DF=EF$。
【答案】：
证明：
(1) 在△$ABE$和△$ACD$中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle A = \angle A \\ AB = AC \\ \angle ABE = \angle ACD \end{array} \right.$
∴△$ABE$≌△$ACD(ASA)$。
(2)
∵△$ABE$≌△$ACD$，
∴$AE=AD$，
∵$AB=AC$，
∴$AB-AD=AC-AE$，
即$BD=CE$，
在△$DBF$和△$ECF$中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle BFD = \angle CFE \\ \angle DBF = \angle ECF \\ BD = CE \end{array} \right.$
∴△$DBF$≌△$ECF(AAS)$，
∴$DF=EF$。

7. 如图,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线.
(1)求证：AD= A'D'.
(2)用文字语言叙述第(1)题的结论.

答案： 【解析】：
(1) 要证明$AD = A'D'$，可以利用全等三角形的判定定理“角边角”（ASA）。已知$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，所以$AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle BAC = \angle B'A'C'$。又因为$AD$和$A'D'$分别是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的角平分线，所以$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle B'A'D' = \frac{1}{2}\angle B'A'C'$，从而$\angle BAD = \angle B'A'D'$。在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，$\angle B = \angle B'$，$AB = A'B'$，$\angle BAD = \angle B'A'D'$，所以$\triangle ABD \cong \triangle A'B'D'$（ASA），因此$AD = A'D'$。
(2) 用文字语言叙述第
(1)题的结论：如果两个三角形全等，那么它们的对应角平分线相等。
【答案】：
(1)证明：
∵$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$
∴$AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle BAC = \angle B'A'C'$
∵$AD$，$A'D'$分别平分$\angle BAC$，$\angle B'A'C'$
∴$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle B'A'D' = \frac{1}{2}\angle B'A'C'$
∴$\angle BAD = \angle B'A'D'$
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中
$\angle B = \angle B'$，$AB = A'B'$，$\angle BAD = \angle B'A'D'$
∴$\triangle ABD \cong \triangle A'B'D'$（ASA）
∴$AD = A'D'$
(2)如果两个三角形全等，那么它们的对应角平分线相等。