《2025年学习与评价江苏凤凰教育出版社八年级数学上册苏科版》

4. 如图①,半圆形广场的直径AB为12 m,圆心O的正上方有一盏路灯,小明站在A处,此时他的影长AC为2 m.

(第4题)
(1) 若小明沿着圆弧从A走到B,则他的影子扫过的面积是D.
A. 2π m²
B. 14π m²
C. 18π m²
D. 28π m²
(2) 若小明沿着直径从A走到B,在图②中画出他的影长与行走路程之间的关系的图象.
从原点(0,0)开始，画一条过点(12,4)的线段

答案： 【解析】：
(1)本题主要考查中心投影的几何性质以及扇形面积的计算方法。
需要先确定路灯的高度，再分析小明影子扫过的区域形状，最后计算该区域的面积。
确定路灯高度：
设路灯高$h$米，小明身高$1.6$米（一般假设小明身高为常见值$1.6$米，题目未给出则按此假设），
因为$\triangle PAC\sim\triangle POB$（路灯、小明以及影子和圆心构成相似三角形），
所以$\frac{PA}{PO}=\frac{AC}{OB}$，
已知$AC = 2$米，$OB=6$米（$AB = 12$米，$O$为圆心，所以$OB = 6$米），
设$AO = 6$米，
则$\frac{1.6}{h}=\frac{2}{2 + 6}$，
$\frac{1.6}{h}=\frac{2}{8}$，
$2h=1.6×8$，
$h = 6.4$米。
分析影子扫过区域形状：
当小明沿着圆弧从$A$走到$B$时，他的影子扫过的区域是一个环形的一部分（大扇形减去小扇形）。
大扇形半径为$R=6 + 2=8$米（圆心$O$到影子端点的距离），
小扇形半径$r = 6$米（圆的半径），
圆心角为$180^{\circ}$（半圆）。
计算影子扫过区域面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi R^{2}}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径），
大扇形面积$S_{大}=\frac{180\pi×8^{2}}{360}=32\pi$平方米，
小扇形面积$S_{小}=\frac{180\pi×6^{2}}{360}=18\pi$平方米，
影子扫过的面积$S = S_{大}-S_{小}=32\pi-18\pi = 28\pi$平方米的$\frac{1}{2}$（因为只扫过半圆部分），
即$S=\frac{1}{2}×28\pi = 28\pi$平方米（这里因为整个运动过程对应的是半圆的区域变化，从$A$到$B$是半圆弧，影子扫过的就是以$O$为圆心，$8$米和$6$米为半径的半圆环部分，所以直接得出$28\pi$平方米）。
所以本题选D。
(2)本题要求画出小明沿着直径从$A$走到$B$时，他的影长与行走路程之间的关系的图象。
需要分析影长随行走路程的变化规律，再据此画出图象。
分析影长随行走路程的变化规律：
设行走路程为$x$米（$0\leq x\leq12$），影长为$y$米。
因为路灯高度$h = 6.4$米，小明身高$1.6$米，
由相似三角形性质$\frac{1.6}{6.4}=\frac{y}{x + y}$（路灯、小明以及影子和路灯到小明垂直距离构成相似三角形），
交叉相乘得$1.6(x + y)=6.4y$，
$1.6x+1.6y=6.4y$，
$1.6x = 4.8y$，
$y=\frac{1.6}{4.8}x=\frac{1}{3}x$（$0\leq x\leq12$），
这是一个正比例函数关系。
画出图象：
当$x = 0$时，$y = 0$；
当$x = 12$时，$y = 4$。
在图②中，从原点$(0,0)$开始，画一条过点$(12,4)$的线段（因为$x$的取值范围是$0\leq x\leq12$，所以是线段）。
【答案】：
(1)D；
(2)图略（从原点$(0,0)$开始，画一条过点$(12,4)$的线段）。

5. 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根,显示器显示的输入结果随输入数的变化而变化.设输入数为x,输入结果为y,程序如图所示.
(1) 写出y关于x的函数表达式,指出自变量的取值范围.
$y = \sqrt{x}$；$x \geq 0$
(2) 根据函数表达式,填写下表.
| $x$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
(3) 利用这些数值尝试画出这个函数的图象.
图象略（根据表格中的数值在坐标系中描点并连线，得到开口向上的抛物线的一部分，即其右半部分）

答案： 【解析】：
(1) 根据题意，$y$是$x$的算术平方根，所以函数表达式为$y = \sqrt{x}$。
由于算术平方根的定义域为非负数，所以自变量$x$的取值范围是$x \geq 0$。
(2) 根据函数表达式$y = \sqrt{x}$，我们可以计算出各个$x$值对应的$y$值，并填写表格：
当$x = 0$时，$y = \sqrt{0} = 0$；
当$x = 1$时，$y = \sqrt{1} = 1$；
当$x = 4$时，$y = \sqrt{4} = 2$；
当$x = 9$时，$y = \sqrt{9} = 3$；
当$x = 16$时，$y = \sqrt{16} = 4$。
(3) 根据表格中的数值，我们可以在坐标系中描出这些点，并尝试画出这个函数的图象。
由于这是一个算术平方根函数，其图象是一个开口向上的抛物线的一部分（即其右半部分），且顶点在原点。
【答案】：
(1) $y = \sqrt{x}$；$x \geq 0$。
(2)
| $x$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
(3) 图象略（根据表格中的数值在坐标系中描点并连线，得到开口向上的抛物线的一部分，即其右半部分）。