《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

2. 张大爷要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32米的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图3所示的矩形$ABCD$.设$AB边长为x$米,矩形$ABCD的面积为S$平方米.
(1)求$S与x$之间的函数解析式；(不要求写出自变量$x$的取值范围)
(2)当$x$为何值时,$S$有最大值？并求出最大值.

答案：
(1)$S = - 2x^{2} + 32x$；
(2)当$x = 8$时，$S$有最大值，最大值为128。

3. 如图4,已知二次函数$y= ax^{2}-4x+c(a≠0)的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点B(0,-5)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合图象回答,当$y＞0$时,对应自变量$x$的取值范围；
(3)已知该函数图象的对称轴上存在一点$P$,使得$\triangle ABP$的周长最小,请求出点$P$的坐标.

答案：
(1)解：将点$A(-1,0)$，$B(0,-5)$代入$y = ax^{2}-4x + c$，得$\begin{cases}a + 4 + c=0\\c=-5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\c=-5\end{cases}$，$\therefore$二次函数解析式为$y=x^{2}-4x - 5$。
(2)解：令$y=0$，则$x^{2}-4x - 5=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=5$，$\therefore$抛物线与$x$轴另一交点为$(5,0)$，由图象得，当$y＞0$时，$x＜-1$或$x＞5$。
(3)解：抛物线对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，设点$A$关于对称轴$x = 2$的对称点为$A'$，则$A'(5,0)$，连接$A'B$交对称轴于点$P$，此时$\triangle ABP$周长最小，设直线$A'B$解析式为$y=kx + b$，将$A'(5,0)$，$B(0,-5)$代入，得$\begin{cases}5k + b=0\\b=-5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=-5\end{cases}$，$\therefore$直线$A'B$解析式为$y=x - 5$，当$x = 2$时，$y=2 - 5=-3$，$\therefore$点$P$坐标为$(2,-3)$。