《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

4. 如图11,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC= CD,∠ACD= 120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1) 证明：连接OC，
∵ AC=CD，∠ACD=120°，
∴ ∠A=∠D=30°，
∵ OA=OC，
∴ ∠OCA=∠A=30°，
∴ ∠OCD=∠ACD - ∠OCA=120° - 30°=90°，
∵ OC是⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ ⊙O的半径为2，
∴ OA=OC=2，AB=4，
在Rt△OCD中，∠D=30°，OC=2，
∴ OD=2OC=4，CD=√(OD² - OC²)=√(4² - 2²)=2√3，
∵ ∠COD=90° - ∠D=60°，
∴ S扇形BOC= (60π×2²)/360 = (2π)/3，
S△OCD= (1/2)×OC×CD= (1/2)×2×2√3=2√3，
∴ 阴影部分面积=S△OCD - S扇形BOC=2√3 - (2π)/3。