《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

8. 如图5,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BE是⊙O的直径,连接AE. 若∠BCD= 2∠BAD,则∠DAE的度数是(A)

A.30°
B.35°
C.45°
D.60°

答案： A。

1. 如图6,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形,则∠BOM= 48°.

答案： 48°

2. 若圆锥的底面半径是2 cm,母线长是4 cm,则圆锥的侧面积是$8\pi$$cm^2($结果保留π).

答案： 解：圆锥的侧面积公式为 $ S = \pi r l $（其中 $ r $ 为底面半径，$ l $ 为母线长）。
已知底面半径 $ r = 2 \, cm $，母线长 $ l = 4 \, cm $，代入公式得：
$ S = \pi × 2 × 4 = 8\pi \, cm^2 $
$8\pi$

3. 如图7,在△ABC中,AB= 2,AC= $\sqrt{2}$,以A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是75度.

答案： 解：连接AD，
∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，AD=1（半径）。
在Rt△ABD中，AB=2，AD=1，
sin∠BAD=AD/AB=1/2，
∴∠BAD=30°。
在Rt△ACD中，AC=√2，AD=1，
sin∠CAD=AD/AC=1/√2=√2/2，
∴∠CAD=45°。
∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+45°=75°。
75

4. 如图8,AB是⊙O的弦,AB= 5,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB= 45°. 若点M,N分别是AB,AC的中点,则MN的最大值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

答案： 解：
∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN = $\frac{1}{2}$BC。
要使MN最大，则需BC最大。
∵∠ACB = 45°，AB = 5，
∴点C在以AB为弦，所对圆周角为45°的圆上运动（不与A，B重合）。
设该圆的圆心为O'，半径为R，
则∠AO'B = 2∠ACB = 90°（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
在Rt△AO'B中，AB = 5，∠AO'B = 90°，AO' = BO' = R，
由勾股定理得：AO'² + BO'² = AB²，
即R² + R² = 5²，
2R² = 25，
R² = $\frac{25}{2}$，
R = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
当BC为该圆的直径时，BC最大，最大值为2R = 5$\sqrt{2}$。
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

1. 已知:如图9,P是△ABC的内心,过P点作△ABC的外接圆的弦AE,交BC于D点.
求证:(1)∠BAE= ∠EBC;(2)BE= PE.

答案：
(1)证明：
∵P是△ABC的内心，
∴AP平分∠BAC，即∠BAE=∠EAC。
∵∠EAC与∠EBC所对的弧都是弧EC，
∴∠EAC=∠EBC，
∴∠BAE=∠EBC。
(2)证明：
∵P是△ABC的内心，
∴BP平分∠ABC，即∠ABP=∠PBC。
∵∠EPB=∠BAE+∠ABP，∠EBP=∠EBC+∠PBC，
又
∵∠BAE=∠EBC，∠ABP=∠PBC，
∴∠EPB=∠EBP，
∴BE=PE。