《2025年阳光学业评价七年级数学上册人教版》

4. 小明利用计算机软件绘制了一条数轴,数轴上有A,B,C,D四点,其中点A在点B的左侧,点B在原点处,点C,D分别与5和8对应,A,B之间的距离与C,D之间的距离相等.

(1)点A表示的数为-3.
(2)小明利用软件制作了一只电子蟋蟀,蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度,第二次沿数轴向左跳动3个单位长度,第三次沿数轴向右跳动5个单位长度,第四次沿数轴向左跳动7个单位长度,…,且按此规律进行跳动.
①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数,并直接写出第几次跳动后落在原点处.
②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离.
①电子蟋蟀跳动5次后对应的数为2，第3次跳动后落在原点处。②电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108。

答案：
(1)由于$B$点在原点处，点$C$，$D$分别对应$5$和$8$，
$CD=8-5=3$，
由于$A$，$B$之间的距离与$C$，$D$之间的距离相等，
$AB=3$，
由于点$A$在点$B$的左侧，
$A$点表示的数为$-3$，
故本题答案为$-3$。
(2)①电子蟋蟀的跳动序列为：向右$1$个单位，向左$3$个单位，向右$5$个单位，向左$7$个单位，以此类推。
设$n$为跳动次数，$P_n$为第$n$次跳动后的位置。
初始位置$P_0 = -3$，
第$1$次跳动：$P_1 = P_0 + 1 = -3 + 1 = -2$，
第$2$次跳动：$P_2 = P_1 - 3 = -2 - 3 = -5$，
第$3$次跳动：$P_3 = P_2 + 5 = -5 + 5 = 0$，
第$4$次跳动：$P_4 = P_3 - 7 = 0 - 7 = -7$，
第$5$次跳动：$P_5 = P_4 + 9 = -7 + 9 = 2$，
观察可知，当$n=3$时，电子蟋蟀落在原点处，
故电子蟋蟀跳动$5$次后对应的数为$2$，第$3$次跳动后落在原点处。
②第$100$次跳动：
由于每次跳动的距离是连续的奇数，且方向交替变化，可以将每次的跳动距离表示为$(-1)^{n+1} × (2n-1)$，其中$n$为跳动次数。
因此，电子蟋蟀跳动$100$次后的位置为：
$P_{100} = -3 + \sum_{n=1}^{100} (-1)^{n+1} × (2n-1)$，
由于$100$是偶数，可以将求和过程分为$50$组，每组包含两个相邻的跳动（一个向右，一个向左），
这样，每组的和就是$-2$，
因此，$P_{100} = -3 + (-2) × 50 = -3 - 100 = -103$，
点$C$表示的数是$5$，电子蟋蟀跳动$100$次后的落点与点$C$之间的距离：
$|5 - (-103)| = 108$，
故电子蟋蟀跳动$100$次后的落点与点$C$之间的距离为$108$。