《2025年阳光学业评价七年级数学上册人教版》

6. 已知$a$,$b$,$c$为有理数,且它们在数轴上的位置如图所示.

(1)用“＞”或“＜”填空：$a$＜$0$,$b$＞$0$,$c$＞$0$；
(2)在数轴上标出$a$,$b$,$c$相反数的位置；
(3)若$|a|= 5$,$|b|= 2.5$,$|c|= 7.5$,求$a$,$b$,$c$的值.
(2)（在数轴上，-a在原点右侧与a到原点距离相等处，-b在原点左侧与b到原点距离相等处，-c在原点左侧与c到原点距离相等处）
(3)a=-5，b=2.5，c=7.5

答案：
(1)＜，＞，＞
(2)（在数轴上，-a在原点右侧与a到原点距离相等处，-b在原点左侧与b到原点距离相等处，-c在原点左侧与c到原点距离相等处）
(3)a=-5，b=2.5，c=7.5

1. 如果$|-2a|= -2a$,则$a$的取值范围是(C).
A.$a＞0$
B.$a\geq0$
C.$a\leq0$
D.$a＜0$

答案： C

2. 当式子$|b-2|+3$取最小值时,$b=$2,最小值是3.

答案： 2，3

3. 下列结论：①若$a$为有理数,则$|a|＞0$；②若$|a|+|b|= 0$,则$a= b= 0$；③若$a-b= 0$,则$\frac{b}{a}= 1$；④若$abc＜0$,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}＜0$,则其中正确的结论的是②.(填序号)

答案： ②

4. 同学们都知道,$|4-(-2)|$表示4与$-2$之差的绝对值,实际上也可以理解为4与$-2$两数在数轴上所对应的两点之间的距离. 例如,$|5-x|$的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数$x$的点之间的距离. 根据所学知识试探索下列问题的答案.
(1)若$|x-5|= |x+3|$,则$x=$1；
(2)请找出符合条件的$x$,使得$|x+5|+|x-2|= 9$；
(3)由以上探索猜想：对于任何有理数$x$,$|x-2|+|x-6|$是否有最小值？如果有,写出最小值；如果没有,说明理由.
(2)$x = 3$或$x=-6$；(3)有，最小值是$4$。

答案：
(1)
根据绝对值的几何意义，$|x - 5|$表示数轴上$x$所对应的点到$5$所对应的点的距离，$|x + 3|=|x-(-3)|$表示数轴上$x$所对应的点到$-3$所对应的点的距离。
因为$|x - 5| = |x + 3|$，所以$x$是$5$和$-3$所对应两点之间的中点，$x=\frac{5 + (-3)}{2}=1$。
(2)
$|x + 5|$表示数轴上$x$所对应的点到$-5$所对应的点的距离，$|x - 2|$表示数轴上$x$所对应的点到$2$所对应的点的距离。
当$x\lt - 5$时，$|x + 5|+|x - 2|=-(x + 5)-(x - 2)=-x - 5 - x + 2=-2x - 3$，由$-2x - 3 = 9$，解得$x=-6$。
当$-5\leqslant x\leqslant2$时，$|x + 5|+|x - 2|=x + 5-(x - 2)=7\neq9$，此区间无解。
当$x\gt2$时，$|x + 5|+|x - 2|=x + 5+x - 2=2x + 3$，由$2x + 3 = 9$，解得$x = 3$。
所以$x = 3$或$x=-6$。
(3)
$|x - 2|$表示数轴上$x$所对应的点到$2$所对应的点的距离，$|x - 6|$表示数轴上$x$所对应的点到$6$所对应的点的距离。
当$x\lt2$时，$|x - 2|+|x - 6|=2 - x+6 - x=8 - 2x\gt8 - 2×2 = 4$。
当$2\leqslant x\leqslant6$时，$|x - 2|+|x - 6|=x - 2+6 - x = 4$。
当$x\gt6$时，$|x - 2|+|x - 6|=x - 2+x - 6=2x - 8\gt2×6 - 8 = 4$。
所以$|x - 2|+|x - 6|$有最小值，最小值是$4$。
综上，答案依次为：
(1)$1$；
(2)$x = 3$或$x=-6$；
(3)有，$4$。