《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

1. 代数式$-7x$的意义可以是( )

A.$-7与x$的和
B.$-7与x$的差
C.$-7与x$的积
D.$-7与x$的商

答案： C

2. 若$m^2 + 2m - 1 = 0$,则$2m^2 + 4m - 3$的值是( )

A.$-1$
B.$-5$
C.$5$
D.$-3$

答案： A

3. 下面的三个问题中都有两个量：
①面积一定的三角形,它的一条边的长$y与这条边上的高x$；
②将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量$y与放水时间x$；
③计划从 A 地到 B 地铺设一段铁轨,每日铺设长度$y与铺设天数x$.
其中$y与x$成反比例关系的是( )

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： B

4. (2025·芜湖)下面四个式子中,不能表示图中阴影部分面积的是( )

A.$(x + 3)(x + 2) - 2x$

B.$x(x + 3) + 6$
C.$x^2 + 5x$
D.$3(x + 2) + x^2$

答案： 1. 首先，用大长方形面积减去空白部分面积：
大长方形的长为$(x + 3)$，宽为$(x + 2)$，根据长方形面积公式$S = ab$（$a$、$b$为长和宽），大长方形面积$S_1=(x + 3)(x + 2)$，空白部分面积$S_2 = 2x$。
则阴影部分面积$S=(x + 3)(x + 2)-2x$。
展开$(x + 3)(x + 2)-2x$：
根据多项式乘多项式法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，$(x + 3)(x + 2)=x^{2}+2x+3x + 6=x^{2}+5x + 6$，所以$(x + 3)(x + 2)-2x=x^{2}+5x + 6-2x=x^{2}+3x + 6$。
2. 然后，用分割法求阴影部分面积：
方法一：
把阴影部分分割成一个长为$(x + 3)$，宽为$x$的长方形和一个长为$3$，宽为$2$的长方形。
根据长方形面积公式，$S=x(x + 3)+3×2$，展开$x(x + 3)+6=x^{2}+3x + 6$。
方法二：
把阴影部分分割成一个长为$(x + 2)$，宽为$3$的长方形和一个边长为$x$的正方形。
根据长方形面积公式$S = ab$和正方形面积公式$S=a^{2}$，$S = 3(x + 2)+x^{2}$，展开$3(x + 2)+x^{2}=3x+6+x^{2}$。
而$x^{2}+5x\neq x^{2}+3x + 6$。
所以不能表示图中阴影部分面积的是$C$。

5. 下列式子中表示$y与x$成反比例关系的有______(填序号).
①$y = -2x$；②$y = -\frac{1}{x}$；③$y = x^2$；④$y = \frac{2}{x - 1}$；⑤$y = \frac{x}{3}$.

答案： ②

6. 某同学参加了$7.5$km 马拉松健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟$x$km 的速度跑了$10$min,此时他离健康跑终点的路程为______km(用含$x$的代数式表示).

答案： $(7.5-10x)$

7. 用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形地板砖按如图所示的规律拼成若干个地板图案,第$1个图案中白色地板砖的块数为6$,第$2个图案中白色地板砖的块数为10$,第$3个图案中白色地板砖的块数为14$……则第$n$个图案中白色地板砖的块数为______.(用含$n$的代数式表示)

答案： 1. 首先分析图案规律：
第$1$个图案中白色地板砖的块数$a_{1}=6 = 4×1 + 2$；
第$2$个图案中白色地板砖的块数$a_{2}=10 = 4×2+2$；
第$3$个图案中白色地板砖的块数$a_{3}=14 = 4×3 + 2$。
2. 然后总结通项公式：
设第$n$个图案中白色地板砖的块数为$a_{n}$，通过观察上述式子，根据等差数列通项公式$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$（这里$a_{1}=6$，公差$d = 4$），也可直接根据规律得出$a_{n}=4n+2$。
故第$n$个图案中白色地板砖的块数为$4n + 2$。

8. (新定义)在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：当$x ≤ y$时,$x★y = x^2$；当$x ＞ y$时,$x★y = y$,则当$z = -3$时,代数式$(-2★z)(-4★z)$的值为______.

答案： -48

9. (20 分)运用整体思想求代数式的值非常重要.
例如：已知$a^2 + 2a = 1$,则代数式$2a^2 + 4a + 4 = 2(a^2 + 2a) + 4 = 2×1 + 4 = 6$.
请你根据以上材料,解答下列问题：
(1) 若$x^2 - 3x = 2$,求$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2$的值；
(2) 已知当$x = 1$时,代数式$px^3 + qx + 1的值是6$,求当$x = -1$时,代数式$px^3 + qx + 1$的值.

答案：
(1)因为$x^{2}-3x=2$,所以$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x-2=\frac{1}{2}(x^{2}-3x)-2=\frac{1}{2}×2-2=-1$.
(2)由题意,得$p+q+1=6$,所以$p+q=5$.所以当$x=-1$时,$px^{3}+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-5+1=-4$.