《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

3. (2025·阜阳) 如图所示,在一块长为 $ 2x $ m、宽为 $ 2y $ m ($ y ＜ x $)的长方形铁皮的四个角上,分别截去半径为 $ y $ m 的圆的 $ \frac{1}{4} $。
(1) 求剩余铁皮的面积(阴影部分的面积)；
(2) 当 $ x = 4 $,$ y = 3 $ 时,剩余铁皮的面积是多少？($ \pi \approx 3.14 $,结果精确到 $ 0.1 $)

答案： 解:
(1)$S_{阴影}=2x\cdot 2y-4×\frac{1}{4}×\pi×y^{2}=(4xy-\pi y^{2})m^{2}$.
(2)当$x=4,y=3$时,$4xy-\pi y^{2}\approx 4×4×3-3.14×3^{2}\approx 19.7m^{2}$.答:剩余铁皮的面积是$19.7m^{2}$.

4. 如图(1)所示,在边长为 $ a $ 的大正方形中剪去一个边长为 $ b $ 的小正方形。
(1) 用含 $ a $,$ b $ 的代数式分别表示 $ S_1 $,$ S_2 $ 的面积；
(2) 若 $ a = 20 $,$ b = 4 $,分别求 $ S_1 $,$ S_2 $ 的面积；
(3) 若将图(1)的阴影部分沿虚线剪开,重新拼成图(2)的大长方形,用含 $ a $,$ b $ 的代数式表示图(2)中大长方形的面积。若 $ a = 20 $,$ b = 4 $,求图(2)中大长方形的面积 $ S $,你还有其他方法计算 $ S $ 的值吗？

答案： 解:
(1)$S_{1}=a(a-b),S_{2}=b(a-b)$.
(2)当$a=20,b=4$时,$S_{1}=a(a-b)=20×(20-4)=20×16=320$,$S_{2}=b(a-b)=4×(20-4)=4×16=64$.即$S_{1}$的面积是320,$S_{2}$的面积是64.
(3)由题意,得$S=(a-b)(a+b)$.当$a=20,b=4$时,$S=384$.还可以这样计算:$S=a^{2}-b^{2}=20^{2}-4^{2}=384$.

5. 如图所示,在一个底为 $ a $、高为 $ h $ 的三角形铁皮上剪去一个半径为 $ r $ 的半圆。
(1) 用含 $ a $,$ h $,$ r $ 的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积 $ S $；
(2) 求出当 $ a = 10 $,$ h = 8 $,$ r = 2 $ 时,$ S $ 的值(结果保留 $ \pi $)。

答案： 解:
(1)$S=S_{三角形}-S_{半圆}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}\pi r^{2}$.
(2)当$a=10,h=8,r=2$时,$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}×10×8-\frac{1}{2}\pi×2^{2}=40-2\pi$.

6. 如图所示,大正方形的边长为 $ a $,小正方形的边长为 $ 6 $ ($ a ＞ 6 $)。
(1) 求阴影部分的面积 $ S $(用含 $ a $ 的代数式表示)；
(2) 当 $ a = 15 $ 时,求 $ S $ 的值。

答案： 解:
(1)由题意,得$\triangle DGF$的底为$GF$时,高为$DG$,$\triangle GFB$的底为$GF$时,高为$GC$.$S=S_{\triangle DGF}+S_{\triangle GFB}=\frac{1}{2}\cdot GF\cdot GD+\frac{1}{2}\cdot GF\cdot GC=\frac{1}{2}×6\cdot (a-6)+\frac{1}{2}×6×6=3a$.
(2)当$a=15$时,$S=45$.

7. 如图所示,某校科技小组计划利用已有的一堵长为 $ 6 $ m 的墙,用篱笆围成一个面积为 $ 30 $ $ m^2 $ 的长方形科技园 $ ABCD $,设 $ AB $ 的长为 $ x $ m,$ BC $ 的长为 $ y $ m。用式子表示 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系,并写出 $ AB $ 的长 $ x $ 的取值范围。

答案： 解:依题意,得$xy=30$,所以$y=\frac{30}{x}$.因为当$BC$长为6 m时,$AB$长5 m.当$BC$小于6 m时,$AB$的长就大于5 m,所以$x\geq 5$.所以$y$与$x$之间的关系为$xy=30(x\geq 5)$.