《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

【例3】将下列各数转换为八进制数.
(1)17；(2)31；(3)253.

答案：
解:
(1)$17÷ 8=2\cdots \cdots 1$,$2÷ 8=0\cdots \cdots 2$,所以17转换成八进制数是21.
(2)$31÷ 8=3\cdots \cdots 7$,$3÷ 8=0\cdots \cdots 3$,所以31转换成八进制数是37.
(3) 　......57((第第21位位余余数数)) 　　　　　　　　　　　　...3(第3位余数) 所以253转换成八进制数是375.

把十进制数转换为八进制数的方法
将十进制数除以8,得到商和余数；将余数作为八进制数的最低位,将商继续除以8,得到新的商和余数,将新的余数作为八进制数的次低位. 如此重复,直到商为0为止. 将所有的余数按照从高位到低位的顺序排列,就得到了八进制数.

答案： 答题卡作答如下：
将十进制数转换为八进制数的步骤：
1. 将十进制数除以8，记录余数 $r_1$，并计算商 $Q_1$：$Q_1 = \lfloor \frac{N}{8} \rfloor, \quad r_1 = N \mod 8$。
2. 将商 $Q_1$ 继续除以8，记录余数 $r_2$，并计算新的商 $Q_2$：$Q_2 = \lfloor \frac{Q_1}{8} \rfloor, \quad r_2 = Q_1 \mod 8$。
3. 重复上述步骤，直到商为0，记录最后的余数 $r_n$。
4. 将所有余数从最后一次除法到第一次除法的顺序排列，得到八进制数：$(r_n r_{n-1} \ldots r_2 r_1)_8$。
例如，将十进制数 100 转换为八进制数：
$100 ÷ 8 = 12$ 余 $4$（最低位）。
$12 ÷ 8 = 1$ 余 $4$。
$1 ÷ 8 = 0$ 余 $1$（最高位）。
因此，十进制数 100 的八进制表示为 $144_8$。

1. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制. 在二进制中,只有0,1两个数字,部分十进制数和二进制数转化如下表：
|十进制|0|1|2|3|4|5|6|
|二进制|0|1|10|11|100|x|110|

则表中x的值为( )

A.110
B.100
C.101
D.1110

答案： C

2. 填空,把下列各数转换为八进制数.
8：______；91：______.

答案： 10；133

3. (1)请你把二进制数10101转换为十进制数的过程补充完整：
$(10101)_2$
$=(\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad)} _{10}$
$=(\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad)} _{10}$；
(2)现在,请你尝试把六进制数421转化为十进制数,并写出转换过程.

答案： 解:
(1)$(10101)_2$$=(1× 2^{4}+0× 2^{3}+1× 2^{2}+0× 2^{1}+1× 2^{0}) _{10}$$=(21) _{10}$；
(2)$(421)_6=(4× 6^{2}+2× 6^{1}+1× 6^{0})_{10}=4× 36+2× 6+1× 1=144+12+1=157$

【例4】计算下列各题：
(1)$(10110)_2+(1101)_2$；
(2)$(1110)_2+(101011)_2$.

答案： 1. （1）
解：二进制加法规则是“满二进一”。
$(10110)_2+(1101)_2$
从右往左逐位相加：
第$1$位：$0 + 1=1$；
第$2$位：$1+0 = 1$；
第$3$位：$1 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$4$位：$0+1 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$5$位：$1+0+1 = 10$。
所以$(10110)_2+(1101)_2=(100011)_2$。
2. （2）
解：
$(1110)_2+(101011)_2$
从右往左逐位相加：
第$1$位：$0 + 1=1$；
第$2$位：$1+1 = 10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$3$位：$1+0 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$4$位：$1+1+1 = 11$，本位写$1$，向高位进$1$；
第$5$位：$0+0 + 1=1$；
第$6$位：$1+0=1$。
所以$(1110)_2+(101011)_2=(111001)_2$。
综上，（1）的结果是$(100011)_2$；（2）的结果是$(111001)_2$。

二进制加法运算的法则
(1)二进制数的加法运算法则：$0+0= 0$,$0+1= 1$,$1+0= 1$,$1+1= 10$(向高位进位1)；
(2)二进制加法竖式运算的法则和十进制加法一样,把右边第一位对齐,依次相应数位对齐,每个数位满二向上一位进一.

答案： 答题（作答）区域如下：
二进制加法运算的法则如下：
(1) 二进制数的加法运算法则：
$0 + 0 = 0$，
$0 + 1 = 1$，
$1 + 0 = 1$，
$1 + 1 = 10$（向高位进位1）。
(2) 二进制加法竖式运算时，需要将各数位对齐，从右向左逐位相加，每位相加结果按照
(1)中的法则计算，若某一位的结果为$10$，则向高位进1，本位记0。

4. (1)计算：$31+26$；
(2)把31,26分别转换为二进制数,利用二进制的加法运算法则计算它们的和,再把和转换为十进制数；
(3)比较(1)(2)的计算结果是否相同.

答案： 解:
(1)$31+26=57$；
(2)31转换为二进制数为11111，26转换为二进制数为11010，$11111+11010=111001$，二进制数111001转换为十进制数为57；
(3)结果相同.