《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

1. 进位制及其相关概念
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是______,逢二进一就是______. 也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是______,如$(1011)_2$是二进制数,它的基数是______；$(3745)_8$是八进制数,它的基数是______.
2. 计算机运算的方式
计算机系统中的所有数据都由二进制信息组成,二进制是逢二进一,其各数位上只用0或1这两个数字,这正好与电路的断和通两种状态相对应,因此计算机在进行数(十进制)的运算时,先把接收到的数转换为二进制数进行计算,再把运算结果转换为十进制数,并输出结果.
3. 八卦符号的认识
如图所示的八卦符号可以用于记数,称为阳爻,对应数字1；称为阴爻,对应数字0,这是二进制记数法.

八卦符号可以用于记数,请探究上面这几个符号所表示的数,互相交流各自的计算方法.
提示：八卦中,每卦均由三个阳爻或阴爻组合而成,如从左起第一个符号表示的二进制数为$(011)_2$.

答案： 十进制 二进制 几 2 8

【例1】填空：把下列数表示成各位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式.
(1)$32567= $______；
(2)$0.7546= $______.

答案：
(1)$3× 10^{4}+2× 10^{3}+5× 10^{2}+6× 10^{1}+7× 10^{0}$；
(2)$7× 10^{-1}+5× 10^{-2}+4× 10^{-3}+6× 10^{-4}$

【例2】把下列各数转换为二进制数.
(1)17(用除2取余法)；
(2)31(用短除法).

答案：
解:
(1)$17÷ 2=8\cdots \cdots 1$,$8÷ 2=4\cdots \cdots 0$,$4÷ 2=2\cdots \cdots 0$,$2÷ 2=1\cdots \cdots 0$,$1÷ 2=0\cdots \cdots 1$,得到二进制数为10001.
(2) 得到31的二进制数为11111.

把十进制数转换为二进制数的方法
(1)除2取余法：将十进制数的整数部分除以2,余数作为二进制数的最低位,而商继续除以2,余数作为二进制数的次低位,这个步骤一直持续下去,直至商为0为止,即得到二进制数；
(2)短除法：不断将十进制数除以2,每次记录商数剩余的整数部分,直至商数为0. 然后把所有剩余整数部分按照从下到上的顺序排列,即得到二进制数.

答案： 答题（以下为将十进制数转换为二进制数的步骤，以十进制数10为例）：
使用除2取余法：
$10 ÷ 2 = 5$ 余 $0$，
$5 ÷ 2 = 2$ 余 $1$，
$2 ÷ 2 = 1$ 余 $0$，
$1 ÷ 2 = 0$ 余 $1$，
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
使用短除法：
短除式为：
$2|10\ \ 0$，
$2|5 \ \ \ 1$，
$2|2 \ \ \ 0$，
$2|1\ \ \ 0$（这一步其实在短除法中可省略，因为当商为1时，下一步直接得出余数），
$ |0\ \ \ 1$（商为0时停止），
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。