《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

7. 有一根 $ 1 $ m 长的绳子,第一次剪去绳子的 $ \frac{2}{3} $,第二次剪去剩下绳子的 $ \frac{2}{3} $. 如果以后每次都剪去剩下绳子的 $ \frac{2}{3} $,求 $ 100 $ 次剪完后剩下绳子的长度.

答案： 解:因为第一次剪去绳子的$\frac {2}{3}m$,所以剩余$\frac {1}{3}m.$
因为第二次剪去剩下绳子的$\frac {2}{3},$
所以第二次剪去后剩下绳子的长度是
$\frac {1}{3}×(1-\frac {2}{3})=(\frac {1}{3})^{2}(m).$
因为第三次剪去剩下绳子的$\frac {2}{3},$
所以第三次剪去后剩下绳子的长度是
$(\frac {1}{3})^{2}×(1-\frac {2}{3})=(\frac {1}{3})^{3}(m),$
以此类推,第100次剪完后剩下绳子的长度是$(\frac {1}{3})^{100}m.$

8. (数学文化)《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢……”大意为：今天出门看见 $ 9 $ 座堤坝,每座堤坝上有 $ 9 $ 棵树,每棵树上有 $ 9 $ 根树枝,每根树枝上有 $ 9 $ 个鸟巢……文中的鸟巢共有( )

A.$ 9^{3} $ 个
B.$ 10^{3} $ 个
C.$ 9^{4} $ 个
D.$ 10^{4} $ 个

答案： C

9. 池塘里的睡莲的面积每天增大一倍,若经过 $ 13 $ 天就可以长满整个池塘,则这些睡莲长满半个池塘需要( )

A.$ 6 $ 天
B.$ 7 $ 天
C.$ 10 $ 天
D.$ 12 $ 天

答案： D

10. 已知 $ 8.6^{2} = 73.96 $,若 $ x^{2} = 0.7396 $,则 $ x $ 的值为______.

答案： ±0.86

11. 若 $ n $ 为正整数,则 $ (-1)^{2n} = $______,$ (-1)^{2n + 1} = $______.

答案： 1 -1

12. (综合与探究)问题：你能比较 $ 2022^{2023} $ 和 $ 2023^{2022} $ 的大小吗？为了解决此问题,我们先写出它们的一般式,即比较 $ n^{n + 1} $ 和 $ (n + 1)^{n} $ 的大小($ n $ 是正整数),然后,我们从分析 $ n = 1 $,$ n = 2 $,$ n = 3 $,…$$ 这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论.
(1)比较下列各组中两个数的大小(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)：
① $ 1^{2} $______$ 2^{1} $；② $ 2^{3} $______$ 3^{2} $；③ $ 3^{4} $______$ 4^{3} $；④ $ 4^{5} $______$ 5^{4} $；⑤ $ 5^{6} $______$ 6^{5} $.
(2)由(1)的结果,猜想 $ n^{n + 1} $ 和 $ (n + 1)^{n} $ 的大小关系.
(3)根据上面的归纳、猜想得到的一般结论,试比较 $ 2022^{2023} $ 和 $ 2023^{2022} $ 的大小.

答案： 解:
(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤＞
(2)当$n≤2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^{n};$
当$n≥3$时,$n^{n+1}＞(n+1)^{n}.$
(3)由
(2),可知$2022^{2023}＞2023^{2022}.$