《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

1. 某市居民生活用水实行阶梯式计量水价,实施细则如下表所示：
|分档水量|年用水量|水价(元/t)|
|第 1 级|180 t 以下(含 180 t)|5|
|第 2 级|180~260 t(含 260 t)|7|
|第 3 级|260 t 以上|9|

例：若某用户 2024 年的用水量为 270 t,按 3 级计算则应缴水费为 $ 180×5+(260 - 180)×7+(270 - 260)×9 = 1550 $(元).
(1)如果小丽家 2024 年的用水量为 200 t,那么小丽家全年需缴水费______元；
(2)如果小明家 2024 年的用水量为 $ a $ t $ (a＞260) $,那么小明家全年应缴水费______元(用含 $ a $ 的代数式表示,并化简)；
(3)如果全年缴水费 2000 元,则该年的用水量为多少吨?

答案： 1.解:
(1)1 040
(2)(9a-880)
(3)因为用水量为260 t,需缴水费180×5+80×7=1 460(元),
所以全年缴水费2 000元,用水量大于260 t.
设该年的用水量为x t.
根据题意,可得9x-880=2 000,
解得x=320,
所以该年的用水量为320 t.

2. (跨学科—物理)阅读材料,并解答有关问题.
公元前 3 世纪,古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体到支点的距离与其质量成反比,则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”,通俗地说,杠杆原理为阻力×阻力臂= 动力×动力臂.[如图(1)所示]

[问题解决]
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头[如图(2)所示],已知阻力和阻力臂不变,分别为 1500 N 和 0.4 m.
(1)动力 $ F $(N)与动力臂 $ l $(m)有怎样的关系？当动力臂为 1.5 m 时,撬动石头需要多大的力?
(2)若想使动力 $ F $(N)等于 200 N,则动力臂要加长多少?

[数学思考]
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍,当阻力与阻力臂一定时,为什么动力臂越长越省力?

答案： 2.解:
(1)根据题意,得Fl=1 500×0.4,
所以F=$\frac{600}{l}$,
当l=1.5 m时,F=$\frac{600}{1.5}$=400(N),
因此,撬动石头需要400 N的力.
(2)设动力臂要加长x m,则
600=200(1.5+x),
解得x=1.5.
答:动力臂要加长1.5 m.
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”,当阻力与阻力臂一定时,其乘积为常数,设其为k,则动力F与动力臂l的关系式为F=$\frac{k}{l}$,根据反比例关系的性质可知,动力F随动力臂l的增大而减小,所以动力臂越长越省力.