《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

7. 在某城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标. 经测算：甲队单独完成这项工程需要 $60$ 天,乙队单独完成这项工程需要 $90$ 天. 若由甲队先做 $20$ 天,剩下的工程由甲、乙两队合作完成.
(1) 甲、乙两队合作多少天？
(2) 甲队施工一天需付工程款 $3.5$ 万元,乙队施工一天需付工程款 $2$ 万元. 若该工程计划在 $70$ 天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？

答案：
(1)设甲、乙两队合作x天.
根据题意,得$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})x+\frac{20}{60}=1$.
解得x=24.
答:甲、乙两队合作24天.
(2)设甲、乙两队全程合作完成需y天.
根据题意,得$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})y=1$.
解得y=36.
①甲队单独完成需付工程款为60×3.5=210(万元);
②乙队单独完成超过计划天数,不符合题意;
③甲、乙两队全程合作完成需付工程款为36×(3.5+2)=198(万元).
答:在不超过计划天数的前提下,由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱.

8. 小敏和小强假期到某厂参加社会实践,该工厂用白板纸做包装盒,每张白板纸做盒身 $2$ 个或者盒盖 $3$ 个,且 $1$ 个盒身和 $2$ 个盒盖恰好做成 $1$ 个包装盒. 为了充分利用材料,要求做成的盒身和盒盖正好配套.
(1) 现有 $14$ 张白板纸,最多可做几个包装盒(用一元一次方程解答)？
(2) 现有 $27$ 张白板纸,最多可做几个包装盒？
为了解决以上问题,小敏和小强各设计了一种解决方案：
小敏：把这些白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖；
小强：先把 $1$ 张白板纸适当裁出 $1$ 个盒身和 $1$ 个盒盖,其余的 $26$ 张白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖.
请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行,求出最多可做包装盒的个数；若不可行,请说明理由.

答案：
(1)设x张白板纸做盒身,则(14-x)张做盒盖.
根据题意,得2x×2=3(14-x),
解得x=6,2x=12.
答:最多可做12个包装盒.
(2)小敏的方案不可行.理由如下:
设a张白板纸做盒身.
根据题意,得2a×2=3×(27-a),
解得a=$\frac{81}{7}$,不符合题意.
小强的方案可行.设26张白板纸中y张做盒身.
根据题意,得2(2y+1)=3(26-y)+1,
解得y=11,11×2+1=22+1=23(个).
答:最多做23个包装盒.