《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

1. 等式的性质 1
等式两边加(或减)______,结果仍相等. 即如果 $ a = b $,那么______.

答案： 同一个数(或式子) $a \pm c = b \pm c$

2. 等式的性质 2
等式两边乘______,或除以______的数,结果仍相等. 即如果 $ a = b $,那么______；如果 $ a = b $,$ c \neq 0 $,那么______.

答案： 同一个数 同一个不为 0 $ac = bc$ $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$

【例 1】(1)由 $ a + b = b + c $,得到 $ a = c $；
(2)由 $ ab = bc $,得到 $ a = c $；
(3)由 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{b} $,得到 $ a = c $；
(4)由 $ a - b = c - b $,得到 $ a = c $；
(5)由 $ xy = 1 $,得到 $ x = \frac{1}{y} $.
判断以上说法是否正确,并利用等式的性质说明理由.

答案： 解:
(1)正确.从$a + b = b + c$能得到$a = c$,根据等式的性质1,两边同减去b.
(2)不正确.从$ab = bc$不能得到$a = c$,因为不确定b是否为0,所以不能根据等式的性质2,两边同除以b.
(3)正确.从$\frac{a}{b} = \frac{c}{b}$能得到$a = c$,在等式$\frac{a}{b} = \frac{c}{b}$中,b为分母,隐含着条件$b \neq 0$,根据等式的性质2,两边同乘b.
(4)正确.从$a - b = c - b$能得到$a = c$,根据等式的性质1,两边同加上b.
(5)正确.从$xy = 1$能得到$x = \frac{1}{y}$,因为$xy = 1$隐含着$y \neq 0$,根据等式的性质2,两边同除以y.

(1)注意对“两边”和“同一个”的理解：对等式进行变形时,必须对等式两边同时进行加或减、乘或除以,不能漏掉任何一边,并且两边加或减、乘或除以的数或式子必须相同；
(2)如果要在等式两边同时除以一个式子,只有当这个式子不等于 0 时,等式才仍然成立.

答案： 答案略

1. 下列方程的变形,符合等式的性质的是( )

A.由 $ 4x + 2 = 3x $,得 $ 4x = 3x + 2 $
B.由 $ \frac{y}{2} = 0 $,得 $ y = 2 $
C.由 $ a = b $,得 $ \frac{a}{c^{2} + 1} = \frac{b}{c^{2} + 1} $
D.由 $ -7x = 5 $,得 $ x = \frac{5}{7} $

答案： C

2. 根据等式的性质填空：
(1)如果 $ 4x = x - 2 $,那么 $ 4x - $______ $ = -2 $；
(2)如果 $ m - 2 = n $,那么 $ m = n + $______；
(3)如果 $ 4a = b $,那么 $ a = $______.

答案：
(1)x
(2)2
(3)$\frac{b}{4}$

【例 2】利用等式的性质解下列方程：
(1)$ x + 3 = 11 $；
(2)$ \frac{1}{2}x = 6 $；
(3)$ \frac{3}{4}x - 1 = \frac{1}{2}x + 3 $；
(4)$ -3x - 1 = 5 - 6x $.

答案： 解:
(1)两边同时减3,得$x = 8$.
(2)两边同时乘2,得$x = 12$.
(3)两边同时加上$1 - \frac{1}{2}x$,得$\frac{1}{4}x = 4$,
两边同时乘4,得$x = 16$.
(4)两边同时加上$6x + 1$,得$3x = 6$,
两边同时除以3,得$x = 2$.