《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

11. (20 分)(2025·芜湖)一扇窗户[如图(1)所示]的所有窗框(包含内部框架和外部框架)为铝合金材料,其下部是边长相同的四个小正方形,上部是半圆形,已知下部小正方形的边长是$a m$,窗户(包括上部和下部)全部安装透明玻璃,现在按照如图(2)所示的方式,在阴影部分的位置上全部安装窗帘,图(2)中窗帘下部分是两个直径为$a m$的半圆形,没有窗帘的部分阳光可以照射进来。(注：$\pi$取近似值 3)
[num = 第 11 题图]

(1)一扇这样的窗户一共需要铝合金材料______$m$(用含$a$的代数式表示)；
(2)求可以照进阳光的部分的面积(用含$a$的代数式表示)；
(3)某公司需要制作 20 扇这样的窗户,并按照图(2)的方式安装窗帘,厂家报价如表,当$a = 1$时,该公司的总花费为多少元？
|材料名称|铝合金|窗帘|透明玻璃|
|报价|100 元/m|40 元/$m^{2}$|90 元/$m^{2}$|

答案：
(1)18a
(2)根据题意,得照进阳光的面积是2a·2a-π·(a/2)²=4a²-3a²/4=13a²/4(m²)，所以照进阳光的面积是13a²/4m².
(3)当a=1时,20扇这样的窗户一共需要铝合金18×1×20=360(m)，20扇这样的窗户一共需要窗帘20×[π×1²/2+π×(1/2)²]=20×9π/4=45π(m²)，20扇这样的窗户一共需要玻璃20×(2×2+π×1²/2)=20×11/2=110(m²)，所以该公司总花费为100×360+40×45π+90×110=36000+1800π+9900=(45900+1800π)(元)，所以该公司总花费为(45900+1800π)元.

12. (20 分)(规律探究)任意写出一个三位数(个位、十位、百位上的数字都不为零),任取其三个数字中的两个,组合成所有可能的两位数(有 6 个),求出所有这些两位数的和,然后将它除以原三位数的各个数位上的数字之和。例如,对三位数 223,取其两个数字组成所有可能的两位数：22,23,22,23,32,32,它们的和是 154,三位数 223 各个数位上的数字的和是 7,$154÷7 = 22$。
(1)若写出的三位数是 111,最后得到的结果是______；若写出的三位数是 345,最后得到的结果是______。
(2)由(1)的探索过程,若写出的三位数百位数字是$a$,十位数字是$b$,个位数字是$c$,最后得到的结果是什么？请运用相关知识证明你的猜想。

答案：
(1)22 22
(2)猜想:所得结果都是22.证明如下:该三位数百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c，则这个三位数可表示为100a+10b+c，组合成的两位数有10a+b,10a+c,10b+a,10b+c,10c+a,10c+b,求和,得22(a+b+c).因此22(a+b+c)÷(a+b+c)=22.