《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

3. (1)【归纳与发现】
① 填空：$12 = 3×4$,$1 + 2 = 3×1$；$69 = 3×$______,$6 + 9 = 3×$______.
② 填空：$312 = 3×104$,$3 + 1 + 2 = 3×2$；$504 = 3×$______,$5 + 0 + 4 = 3×$______.
(2)【验证与说理】
① 试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除(是3的整数倍)；
② 设$\overline{abcd}$是一个四位数($a$,$b$,$c$,$d$分别为其千位、百位、十位、个位上的数字),若$a + b + c + d$可以被3整除,试说明$\overline{abcd}$可以被3整除.

答案： 3.解:
(1)①23　5　②168　3
(2)①$2325 = 2×1000 + 3×100 + 2×10 + 5×1$
　$= 2×(999 + 1) + 3×(99 + 1) + 2×(9 + 1) + 5$
　$= 2×999 + 2 + 3×99 + 3 + 2×9 + 2 + 5$
　$= (2×999 + 3×99 + 2×9) + (2 + 3 + 2 + 5)$
　$= 3(2×333 + 3×33 + 2×3) + 3×4$,
　因为$2×333 + 3×33 + 2×3$为整数，4为整数，
　所以2325可以被3整除.
　因为$2 + 3 + 2 + 5 = 12 = 3×4$，所以$3×4$能被3整除，
　所以2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除.
　②$\overline {abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$
　$= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d$
　$= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d$
　$= (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)$
　$= 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d)$,
　因为$a$，$b$，$c$，$d$为整数，
　所以$333a + 33b + 3c$是整数.
　所以$3×(333a + 33b + 3c)$能被3整除.
　所以若$a + b + c + d$能被3整除，则$\overline {abcd}$可以被3整除.

被3,9整除
(1) 能被3或9整除的数,其各位数字和能被3或9整除；
(2) 一个数被3或9除得的余数,就是其各位数字相加后被3或9除得的余数.

答案： 答题卡作答：
(1)设一个数为$A = \overline{a_{n}a_{n - 1}\cdots a_{1}a_{0}}$，其中$a_{i}$为数字，且$A = a_{n} × 10^{n} + a_{n - 1} × 10^{n - 1} + \cdots + a_{1} × 10 + a_{0}$。
因为$10^{k}(k = 0,1,2,\cdots,n)$，除$10^{0}=1$外，其余$10^{k}$均可表示为$9× M+1$（$M$为正整数）的形式，即$10^{k}$被$3$或$9$除余$1$。
所以$A=a_{n}(9M_{n}+1)+a_{n - 1}(9M_{n - 1}+1)+\cdots + a_{1}(9M_{1}+1)+a_{0}$
$=9(a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+\cdots + a_{1}M_{1})+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
设$N=a_{n}M_{n}+a_{n - 1}M_{n - 1}+\cdots + a_{1}M_{1}$，则$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
若$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}$能被$3$或$9$整除，设$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}=3k$（或$9k$），$k$为整数，则$A = 9N + 3k=3(3N + k)$（或$A=9(N + k)$），所以$A$能被$3$（或$9$）整除。
(2)由
(1)知$A = 9N+(a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0})$。
设$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots + a_{1}+a_{0}=9q + r$，其中$q$为整数，$r$为余数，$0\leq r\lt9$。
则$A = 9N+9q + r=9(N + q)+r$，所以一个数被$3$或$9$除得的余数，就是其各位数字相加后被$3$或$9$除得的余数。
综上，结论成立。

4. 定义：对于一个多位自然数$a$,若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1,我们称自然数$a$是“格调数”. 例如12,123,1234等都是“格调数”. 根据数的特点,我们可以发现,最小的“格调数”是12,最大的“格调数”是123456789. 如果一个“格调数”有七位,第一位上的数字最大只能是3,这样的“格调数”是3456789. 已知四位“格调数”$m和n$,若$m - n = 2222$,且$m$能被3整除,则$m$的值为______.

答案： 4.3 456或6 789