《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

1. (2024·牡丹江)如图所示的是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形,第1个图有4个三角形,第2个图有7个三角形,第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去,第674个图中三角形的个数是( )


A.2022
B.2023
C.2024
D.2025

答案： B

2. (2024·长春)如图所示,图(1)表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌,每个小圆表示1把椅子),图(2)表示2张餐桌和8把椅子,图(3)表示3张餐桌和10把椅子……若按这种方式摆放25张餐桌,则需要的椅子把数是( )


A.25
B.50
C.54
D.150

答案： C

3. 观察图形并思考：当小梯形的个数为n时,所拼成的图形的周长为______.

答案： 3na+2a

4. 把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子,虚线最下面第1个数字是0,往上第2个数字是6,第3个数字是21……则第23个数字是______.

答案： 4.2 211 解析:根据题意，
第2个数字是6，
第3个数字是21，
第4个数字是45，
……
总结规律,得第n个数字是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+3(n-1),
所以虚线上第23个数字是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+3×(23-1)
=1+2+3+4+…+66
=(1+66)×66/2
=2 211.

5. 观察：有下列代数式：
①$3^{2}-4×1^{2}$,②$5^{2}-4×2^{2}$,③$7^{2}-4×3^{2}$,….
尝试：请你按照前3个算式的规律写出第4个、第5个代数式；
发现：请你用这个规律表示出第n个代数式；
应用：计算$n = 2023$时代数式的值.

答案： 5.解:尝试:第4个代数式为9²-4×4²,
第5个代数式为11²-4×5².
发现:第n个代数式为(2n+1)²-4×n²;
应用:n=2 023时,(2n+1)²-4×n²=8 093.

6. 观察下列等式：$\frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,….
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n + 1)}= $______；
(2)求出下面式子的计算结果：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n + 1)}$.

答案： 1. （1）
观察已知等式：$\frac{1}{1×2}=1 - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$。
可以猜想$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
2. （2）
解：
对于$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}$。
由（1）可知$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$，$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
则原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$。
去括号得：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
可以发现从第二项起，每一项与后一项都可以相互抵消，即$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，$-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$，$\cdots$，$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=0$。
所以原式$=1-\frac{1}{n + 1}$。
通分计算：$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 1}{n + 1}-\frac{1}{n + 1}=\frac{n+1 - 1}{n + 1}=\frac{n}{n + 1}$。
综上，（1）$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$；（2）$\frac{n}{n + 1}$。