《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

6. 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过 $ 17 $ $ m^{3} $,每立方米 $ a $ 元；超过部分每立方米 $ (a + 1.2) $ 元。该地区某用户上月用水量为 $ 20 $ $ m^{3} $,则应缴水费____元。

答案： (20a+3.6)

7. (2025·芜湖)已知多项式 $ A $,$ B $,其中 $ A = x^{2} - 2x + 1 $,小马在计算 $ A + B $ 时,由于粗心把 $ A + B $ 看成了 $ A - B $,求得结果为 $ x^{2} - 4x $,请你帮助小马算出 $ A + B $ 的正确结果。

答案： 解:由题意可知:A-B=x²-4x,所以B=A-(x²-4x)=x²-2x+1-(x²-4x)=2x+1.所以A+B=x²-2x+1+2x+1=x²+2.

8. 设 $ M = x^{2} - 3x + 5 $,$ N = -x^{2} - 3x + 2 $,那么 $ M $ 与 $ N $ 的大小关系是( )

A.$ M ＜ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＞ N $
D.无法确定

答案： C

9. (2024·宿州)要使多项式 $ ax^{3} + 3bxy^{2} + 2x^{3} - xy^{2} + y $ 不含三次项,则 $ a + 6b $ 的值为( )

A.$ -3 $
B.$ 2 $
C.$ -1 $
D.$ 0 $

答案： D 解析:ax³+3bxy²+2x³-xy²+y=(a+2)x³+(3b-1)xy²+y.因为多项式不含三次项,所以a+2=0,3b-1=0,解得a=-2,b=$\frac{1}{3}$,所以a+6b=-2+6×$\frac{1}{3}$=0.

10. 已知 $ P = -4x^{2} + 3x - 2 $,$ Q = x^{2} - 2kx + 1 $,在求 $ P + 4Q $ 的值时,小智发现无论 $ x $ 代入何值,所求 $ P + 4Q $ 的值皆不变,那么此时 $ k $ 的值为____。

答案： $\frac{3}{8}$

11. (新定义)定义：若 $ a + b = 2 $,则称 $ a $ 与 $ b $ 是关于 $ 1 $ 的平衡数。
(1)$ 3 $ 与____是关于 $ 1 $ 的平衡数,$ 5 - x $ 与____(用含 $ x $ 的式子表示)是关于 $ 1 $ 的平衡数；
(2)若 $ a = 2x^{2} - 3(x^{2} + x) + 4 $,$ b = 2x - [3x - (4x + x^{2}) - 2] $,判断 $ a $ 与 $ b $ 是否是关于 $ 1 $ 的平衡数,并说明理由。

答案： 解:
(1)-1 x-3
(2)a与b不是关于1的平衡数.理由如下:因为a+b=2x²-3(x²+x)+4+2x-[3x-(4x+x²)-2]=2x²-3x²-3x+4+2x-3x+4x+x²+2=6≠2,所以a与b不是关于1的平衡数.

12. (整体思想)阅读材料：
我们知道 $ 4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x $,类似地,我们把 $ a + b $ 看成一个整体,则
$ 4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) $
$ = (4 - 2 + 1)(a + b) $
$ = 3(a + b) $。
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用：
(1)把 $ (a - b)^{2} $ 看成一个整体,合并 $ 3(a - b)^{2} - 6(a - b)^{2} + 2(b - a)^{2} $ 的结果是____；
(2)已知 $ x^{2} - 2y = 4 $,求 $ 2 - 3x^{2} + 6y $ 的值；
(3)若 $ m^{2} + n^{2} = 4 $,$ n^{2} - mn = 1 $,则 $ m^{2} + 2mn - n^{2} $ 的值为____。

答案： 解:
(1)-(a-b)²
(2)因为x²-2y=4,所以3x²-6y=12.所以原式=-3(x²-2y)+2=-12+2=-10.
(3)2