《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册人教版》

8. 观察与探究
【观察思考】如图$4$,春节期间,广场上用红梅花(黑色圆点)和黄梅花(空白圆点)组成“中国结”图案。

【规律总结】(1) 按照图$4$的摆放方式,第$1个图案中红梅花的盆数为2$,可表示为$1×2$；第$2个图案中红梅花的盆数为6$,可表示为$2×3$；第$3个图案中红梅花的盆数为12$,可表示为$3×4$；第$4个图案中红梅花的盆数为20$,可表示为4×5；第$5$个图案中红梅花的盆数为30,可表示为5×6；第$n$个图案中红梅花的盆数可表示为n(n + 1) (用含$n$的代数式表示)。
(2) 按照图$4$的摆放方式,第$n$个图案中黄梅花的盆数为3n - 1 (用含$n$的代数式表示)。

答案： （1）
第4个图案：4×5
第5个图案中红梅花的盆数：30
可表示为：5×6
第n个图案中红梅花的盆数可表示为：n(n + 1)
（2）
第n个图案中黄梅花的盆数为：n + 1+2(n-1)=3n-1（或$n(n+1)-(n^2 - 1)-n(n - 1)=3n - 1 ，$从图形规律直接观察，每个图案黄梅花比红梅花对应序号少一定数量，通过计算可得3n - 1 ）
综上，答案依次为：（1）4×5；30；5×6；n(n + 1)；$（2）n^2+2n+1（$红梅花总数相邻比拟与规律推导，从图形黄梅花数量规律直接得3n - 1 ） ，正确表述为3n - 1。

1. 两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.

答案： 乘积

2. 如果用字母$x和y$表示两个相关联的量,用$k$表示它们的积($k$是一个确定的值,且$k\neq0$),反比例关系可以用$xy= $$k$来表示.

答案： $k$

(一题多问)已知一个长方形的面积为$12$.
(1)若这个长方形的长为$6$,则它的宽为2；若这个长方形的长为$4$,则它的宽为3.
(2)随着这个长方形的长减小,它的宽增大(填“增大”或“减小”).
(3)用$y$表示这个长方形的长,用$x$表示这个长方形的宽,则$xy= $12,$y与x$成反(填“正”或“反”)比例关系.

答案：
(1) $2$；$3$
(2) 增大
(3) $12$；反