《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册人教版》

探究一 不同进位制的整数之间的转换

答案： 探究一 不同进位制的整数之间的转换
设有一个十进制数 $N$，要将其转换为 $b$ 进制数。
除 $b$ 取余法：
用 $N$ 除以 $b$，取余数 $r_0$，然后 $N_1=\lfloor\frac{N}{b}\rfloor$；
再用 $N_1$ 除以 $b$，取余数 $r_1$，$N_2 = \lfloor\frac{N_1}{b}\rfloor$；
$\cdots$
直到 $N_k = 0$，此时余数 $r_k$。
那么 $b$ 进制数就是 $r_kr_{k - 1}\cdots r_1r_0$。
例如将十进制数 $100$ 转换为二进制数：
$100÷2 = 50\cdots\cdots0$；
$50÷2=25\cdots\cdots0$；
$25÷2 = 12\cdots\cdots1$；
$12÷2=6\cdots\cdots0$；
$6÷2 = 3\cdots\cdots0$；
$3÷2=1\cdots\cdots1$；
$1÷2=0\cdots\cdots1$。
所以十进制数 $100$ 转换为二进制数是 $1100100_2$。
若要将 $b$ 进制数转换为十进制数，设 $b$ 进制数 $a_na_{n - 1}\cdots a_1a_0$，则其对应的十进制数 $N=\sum_{i = 0}^{n}a_i× b^i$。
例如将二进制数 $1101_2$ 转换为十进制数：
$N=1×2^3 + 1×2^2+0×2^1+1×2^0=13_{10}$。

例$1$
(1)请把二进制数$1101$转换成十进制数.
(2)请把十进制数$95$转换为七进制数.

答案： 解:
(1)$(1101)_2=1× 2^3+1× 2^2+0× 2^1+1× 2^0=8+4+0+1=13$.
(2)$95÷ 7=13\cdots \cdots 4$,$13÷ 7=1\cdots \cdots 6$,$1÷ 7=0\cdots \cdots 1$.所以十进制数95转换为七进制数是$(164)_7$.

(1)把二进制数$1101$表示成各数位上的数字与二进制基数的幂的乘积之和的形式,再计算结果.(2)根据名师引导中十进制转换为$n$进制的方法,将$95除以7$,再反复用得到的商除以$7$,直到所得商为$0$.

答案：
(1)
二进制数$1101$转化为各数位上的数字与二进制基数的幂的乘积之和的形式为：
$1×2^{3}+1×2^{2}+0×2^{1}+1×2^{0}$
计算：
$1×2^{3}+1×2^{2}+0×2^{1}+1×2^{0}$
$=1×8 + 1×4+0×2 + 1×1$
$=8 + 4+0 + 1$
$=13$
(2)
$95÷7 = 13\cdots\cdots4$
$13÷7 = 1\cdots\cdots6$
$1÷7 = 0\cdots\cdots1$
所以$95$转化为七进制数是$164_{(7)}$。

1.第十四届国际数学教育大会在上海召开,此次大会会徽主题图案(如下图)有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力.右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数$3745$.八进制是以$8$作为进位基数的数字系统,由$0\sim7$八个数字组成.八进制数$3745转换成十进制数是3×8^{3}+7×8^{2}+4×8^{1}+5×8^{0}= 2\ 021$.八进制数$2025$转换成十进制数是(1045).

A.$1\ 042$
B.$1\ 045$
C.$2\ 025$
D.$3\ 748$

答案： B 提示:$(2025)_8=2× 8^3+0× 8^2+2× 8^1+5× 8^0=1045$.