《2025年新课程学习与测评同步学习七年级数学上册人教版》

例3
(教材第 53 页例 4 变式)观察下列三行数：
$ 0,3,8,15,24,… $； ①
$ 2,5,10,17,26,… $； ②
$ 0,6,16,30,48,… $。 ③
(1)第①行的数按什么规律排列？
(2)第②③行的数与第①行的数分别有什么关系？
(3)取每行数的第 100 个数,求这三个数的和。

答案：
(1)第①行的数按 $a_{n} = n^{2} - 1$（$n$为正整数）规律排列。
(2)第②行的数与第①行的数的关系：第②行的每个数比第①行相应的数大$2$，即$b_{n} = n^{2} - 1 + 2=n^{2}+1$（$n$为正整数）；
第③行的数与第①行的数的关系：第③行的每个数是第①行相应数的$2$倍，即$c_{n} = 2(n^{2} - 1)=2n^{2}-2$（$n$为正整数）。
(3)当$n = 100$时，
$a_{100}=100^{2}-1 = 9999$；
$b_{100}=100^{2}+1 = 10001$；
$c_{100}=2×100^{2}-2 = 19998$。
$a_{100}+b_{100}+c_{100}=9999 + 10001+19998=39998$。
综上，答案依次为：
(1)$a_{n} = n^{2} - 1(n$为正整数$)$；
(2)第②行的数比第①行相应的数大$2$，第③行的数是第①行相应数的$2$倍；
(3)$39998$。

(1)观察发现,第①行各数均为它的序号数的平方减 1；(2)观察易得第①行的数加 2 得到第②行的数,第①行的数乘 2 得到第③行的数；(3)根据发现的规律得出每行的第 100 个数,再进行加法运算即可。

答案： 答题卡填写：
(1) 观察第①行数：$0,3,8,15,24\ldots$，可以发现每个数都符合 $n^2 - 1$ 的规律，其中 $n$ 为序号数。
(2) 对比第①行与第②行数，第②行数为：$2,5,10,17,26\ldots$，可以看出第②行的数是第①行对应位置的数加2，即 $n^2 - 1 + 2 = n^2 + 1$。
对比第①行与第③行数，第③行数为：$0,6,16,30,48\ldots$，可以看出第③行的数是第①行对应位置的数乘2，即 $2(n^2 - 1)$。
(3) 根据上述规律，第①行的第100个数为 $100^2 - 1 = 9999$。
第②行的第100个数为 $100^2 + 1 = 10001$。
第③行的第100个数为 $2(100^2 - 1) = 19998$。
三个数相加得：$9999 + 10001 + 19998 = 39998$。
故答案为：
(1) $n^2 - 1$
(2) 第①行数加2得到第②行数；第①行数乘2得到第③行数
(3) 39998

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答案：
(1)第①行的数是按1²-1,2²-1,3²-1,4²-1,5²-1,…,排列的.
(2)对比第①②两行中位置对应的数,可以发现:第②行的数是第①行对应的数加2,即1²+1,2²+1,3²+1,4²+1,5²+1,…对比第①③两行中位置对应的数,可以发现:第③行的数是第①行对应的数的2倍,即(1²-1)×2,(2²-1)×2,(3²-1)×2,(4²-1)×2,(5²-1)×2,….
(3)每行数的第100个数分别是100²-1,100²+1,(100²-1)×2,它们的和是100²-1+100²+1+(100²-1)×2=39998.