《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

5. 某同学做一道数学题:已知两个多项式$A,B$,计算$2A+B$.他误将“$2A+B$”看成“$A+2B$”,求得的结果是$9x^{2}-2x+7$.已知$B= x^{2}+3x-2$,求$2A+B$的正确答案.

答案： 解:因为A=(9x²-2x+7)-2(x²+3x-2)
=9x²-2x+7-2x²-6x+4
=7x²-8x+11,
所以2A+B=2(7x²-8x+11)+(x²+3x-2)
=14x²-16x+22+x²+3x-2
=15x²-13x+20.

6. 已知$M= 3x^{2}-2x+4,N= x^{2}-2x+3$,试比较$M,N$的大小.

答案： 解:M-N=(3x²-2x+4)-(x²-2x+3)
=3x²-2x+4-x²+2x-3
=2x²+1.
因为2x²≥0,
所以2x²+1＞0.
所以M-N＞0,即M＞N.

7. [发现]把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换得到一个新的两位数(各数位上的数字均不为0),新的两位数与原两位数的差是9的倍数.
[验证]①$51-15= 9×$4;
②设这个两位数十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,且$a+b≠9$,说明新的两位数与原两位数的差是9的倍数.
[延伸]判断新的两位数与原两位数的和是否为9的倍数,并说明理由.
[验证]②由题知,这个两位数十位上的数字为a,个位上的数字为b,则新两位数与原两位数的差为(10b+a)-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a).
因为a,b均为整数,
所以b-a是整数.
所以新的两位数与原两位数的差是9的倍数.
[延伸]不是9的倍数.理由如下:
新两位数与原两位数的和为(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b).
因为a+b≠9,
所以新的两位数与原两位数的和不是9的倍数,是11的倍数.

答案： 解:[验证]①4
②由题知,这个两位数十位上的数字为a,个位上的数字为b,则新两位数与原两位数的差为(10b+a)-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a).
因为a,b均为整数,
所以b-a是整数.
所以新的两位数与原两位数的差是9的倍数.
[延伸]不是9的倍数.理由如下:
新两位数与原两位数的和为(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b).
因为a+b≠9,
所以新的两位数与原两位数的和不是9的倍数,是11的倍数.

8. 将连续的奇数$1,3,5,7,9,…$,排成如图所示的数阵.
(1)十字框中的5个数的和与中间的数15有什么关系?
(2)设中间数为$a$,用式子表示十字框中5个数之和.
(3)若将十字框上下左右移动,可框住另外5个数,则这5个数的和还有这种规律吗?

答案： 解:
(1)5+13+15+17+25=75=5×15,
所以十字框中的五个数的和是中间数15的5倍.
(2)若设中间数为a,
则这五个数分别为a,a-10,a+10,a-2,a+2.
所以a+(a-10)+(a+10)+(a-2)+(a+2)
=a+a-10+a+10+a-2+a+2
=5a.
所以十字框中的五个数之和为5a.
(3)若将十字框上下左右移动,框住另外五个数,则这五个数的和仍是中间数的5倍.