《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

【例 2】长方形内的点的个数与互不重叠的三角形个数的有关数据如下表所示。

[归纳] 观察表格中的四组数据变化,比较后发现长方形内点的个数每增加 1 个,三角形的个数增加 2 个,故可以通过这一规律总结得到当长方形内点的个数为 $ n $($ n $ 为正整数)时,三角形有$(2n+2)$个；
[解决问题] 如果长方形内有 100 个点,可以形成的三角形有202个。

答案： [归纳]$(2n+2)$
[解决问题]202

4. 按一定规律排列的单项式：$ 2a,\frac{3}{2}a^{2},\frac{4}{3}a^{3},\frac{5}{4}a^{4},\frac{6}{5}a^{5},… $,第 $ n $ 个单项式是(D)
A.$ \frac{n + 1}{n} $
B.$ \frac{n + 1}{n}a^{n - 1} $
C.$ \frac{n - 1}{n}a^{n} $
D.$ \frac{n + 1}{n}a^{n} $

答案： D

5. $ a $ 是不为 2 的有理数。我们把 $ \frac{2}{2 - a} $ 称为 $ a $ 的“哈利数”,如 3 的“哈利数”是 $ \frac{2}{2 - 3} = - 2 $,-2 的“哈利数”是 $ \frac{2}{2 - (-2)} = \frac{1}{2} $。已知 $ a_{1} = 3 $,$ a_{2} $ 是 $ a_{1} $ 的“哈利数”,$ a_{3} $ 是 $ a_{2} $ 的“哈利数”,$ a_{4} $ 是 $ a_{3} $ 的“哈利数”……依此类推,则 $ a_{2024} $ 等于(D)
A.3
B.-2
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{4}{3} $

答案： D

6. 古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,28,…叫作三角形数,这列数具有一定的规律。若把第一个数记作 $ a_{1} $,第二个数记作 $ a_{2} $,…,第 $ n $ 个数记作 $ a_{n} $,解答下列问题：
(1)计算：$ a_{2} - a_{1} = $2,$ a_{3} - a_{2} = $3,$ a_{4} - a_{3} = $4,$ a_{5} - a_{4} = $5；
试推测：$ a_{n} - a_{n - 1} = $n(用含 $ n $ 的代数式表示推测的结论)。
(2)根据(1)的结论：
①求 $ a_{2024} - a_{2021} $ 的值；
②求 $ a_{2024} $ 的值。
(2)①$a_{2024}-a_{2021}=(a_{2024}-a_{2023})+(a_{2023}-a_{2022})+(a_{2022}-a_{2021})=2024+2023+2022=6069$
②$a_{2024}=a_{1}+(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+\cdots+(a_{2024}-a_{2023})=1+2+3+\cdots+2024=\frac{2024×(2024+1)}{2}=2049300$

答案：
(1)2 3 4 5 n
(2)①6069
②2049300