《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

【例题】一个三位数,它的百位上的数字为 $ a $,十位上的数字为 $ b $,个位上的数字为 $ c $,若把它的百位上的数字与个位上的数字对调,将得到一个新的三位数. 计算原数与新数的差,这个差能被 $ 11 $ 整除吗？ 为什么？

答案： 解:能被11整除.理由如下:
原数一新数=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100a+10b+c-100c-10b-a
=100a-a+10b-10b+c-100c
=99a-99c
=99(a-c).
因为99(a-c)÷11=9(a-c),
所以这个三位数与其得到的新数的差能被11整除.

1. 一个三位数 $ m $,将 $ m $ 的百位上的数字和十位上的数字相加,所得数的个位上的数字放在 $ m $ 之后,得到的四位数称为 $ m $ 的“如虎添翼数”. 将 $ m $ 的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数,把四个新的三位数的和与 $ 3 $ 的商记为 $ F(m) $. 例如：$ m = 297 $,因为 $ 2 + 9 = 11 $,所以 $ 297 $ 的“如虎添翼数”是 $ 2971 $,将 $ 2971 $ 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：$ 971 $,$ 271 $,$ 291 $,$ 297 $,则 $ F(m) = \frac{971 + 271 + 291 + 297}{3} = 610 $.
(1)$ 258 $ 的“如虎添翼数”是2587,$ F(258) = $______463；
(2)试说明任意一个十位上的数字为 $ 0 $ 的三位数 $ M $,它的“如虎添翼数”与 $ M $ 的个位上的数字之和能被 $ 11 $ 整除.

答案：
(1)2587 463；
(2)设M=100a+c,
则百位上的数字与十位上的数字之和为a.
所以M的"如虎添翼数"为1000a+10c+a=1001a+10c.
因为M的个位上的数字为c,
所以1001a+10c+c=1001a+11c=91×11a+11c=11×
(91a+c).
所以任意一个十位上的数字为0的三位数M,它的"如虎添翼数"与M的个位上的数字之和能被11整除.

2. (教材 P90 复习题 T2 变式)探索能被 $ 3 $ 整除的数的规律.
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 $ a $,$ b $,记这个两位数为 $ \overline{ab} $,于是 $ \overline{ab} = 10a + b = 9a + (a + b) $,显然 $ 9a $ 能被 $ 3 $ 整除,因此,如果 $ a + b $ 能被 $ 3 $ 整除,那么 $ 9a + (a + b) $ 就能被 $ 3 $ 整除,即 $ \overline{ab} $ 能被 $ 3 $ 整除.
根据上述材料,解答下列问题：
(1)下列各数中,能被 $ 3 $ 整除的有②④；(填序号)
①$ 25 $；②$ 225 $；③$ 1025 $；④$ 2025 $.
(2)设 $ \overline{abcd} $ 是一个四位数,若 $ a + b + c + d $ 能被 $ 3 $ 整除,试说明这个数能被 $ 3 $ 整除.
由题意知,四位数$\overline{abcd}$可表示为1000a+100b+10c+d.
因为1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d,且999a+99b+9c一定能被3整除,
又因为a+b+c+d能被3整除,
所以1000a+100b+10c+d能被3整除,
即这个四位数能被3整除.

答案：
(1)②④；
(2)由题意知,四位数$\overline{abcd}$可表示为1000a+100b+10c+d.
因为1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d,且999a+99b+9c一定能被3整除,
又因为a+b+c+d能被3整除,
所以1000a+100b+10c+d能被3整除,
即这个四位数能被3整除.