《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

9. 列出单项式,并指出它们的系数和次数。
(1)某班总人数为$m$,男生人数占全班人数的$\frac{3}{5}$,那么该班男生人数为多少？
(2)一台电脑原价为$a$元,现在加价20%出售,这台电脑现在的售价为多少？
(3)在2022年北京冬奥会的冰雪项目中,高质量的人造雪受到人们的广泛关注。每10kg自然水可加工成5kg纯冰,每10kg纯冰可加工成20kg人造雪(不考虑冰雪融化及其他损耗)。加工$m$kg人造雪,需要多少千克的纯冰？需要多少千克的自然水？

答案： 解:
(1)该班男生人数为$\frac{3}{5}m$,系数是$\frac{3}{5}$,次数是1.
(2)这台电脑现在的售价为$(1+20\%)a=1.2a$(元),系数是1.2,次数是1.
(3)加工m kg人造雪,需要$\frac{1}{2}m$ kg的纯冰,它的系数是$\frac{1}{2}$,次数是1;需要m kg的自然水,它的系数是1,次数是1.

10. 下列说法正确的是(D)

A.单项式$\frac{1}{2}\pi x^{2}的系数是\frac{1}{2}$,次数是3
B.多项式$x^{2} - 2x - 1的各项分别是x^{2}$,$2x$,1
C.单项式$-\frac{2x^{2}y}{3}$的系数是-2
D.多项式$y - x^{2}y + 5xy^{2}$是三次三项式

答案： D

11. 有一组多项式：$a - b^{2}$,$a^{3} + b^{4}$,$a^{5} - b^{6}$,$a^{7} + b^{8}$,…。请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第$n$个多项式：$a^{2n-1}+(-1)^{n}b^{2n}$。

答案： $a^{2n-1}+(-1)^{n}b^{2n}$ 解析:a的指数1,3,5,7,…是连续的奇数,第n个多项式中a的指数是$2n-1$;b的指数2,4,6,8,…是连续的偶数,第n个多项式中b的指数是$2n$,所以第n个多项式为$a^{2n-1}+(-1)^{n}b^{2n}$.

12. 已知多项式$-8x^{3}y^{m} + xy^{2} - 3x^{3} + 6y$是六次四项式,单项式$\frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5 - n}$的次数与这个多项式的次数相同。
(1)求$m$,$n$的值；
(2)求多项式的各项系数和。

答案： 解:
(1)因为多项式$-8x^{3}y^{m}+xy^{2}-3x^{3}+6y$是六次四项式,
所以$3+m=6$,解得$m=3$;
因为单项式$\frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5-n}$的次数与这个多项式的次数相同,
所以$2+5-n=6$,解得$n=1$.
(2)因为$-8x^{3}y^{m}+xy^{2}-3x^{3}+6y$的各项系数分别为-8,1,-3,6,
所以$-8+1+(-3)+6=-11+7=-4$.

13. 观察下列单项式：$-x$,$3x^{2}$,$-5x^{3}$,$7x^{4}$,…,$-37x^{19}$,$39x^{20}$,…。写出第$n$个单项式。为了解答这个问题,特提供下面的解题思路：
(1)这组单项式的系数的符号和绝对值的规律分别是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳,你可以推测出第$n$个单项式是什么吗？
(4)请根据推测,写出第2022个单项式。

答案： 解:
(1)单项式的系数的符号是$(-1)^{n}$(负号、正号依次出现),系数的绝对值规律是$2n-1$(从1开始的连续奇数).
(2)这组单项式的次数是从1开始的连续自然数.
(3)第n个单项式是$(-1)^{n}(2n-1)x^{n}$.
(4)第2022个单项式是$4043x^{2022}$.