《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

1. 如图,已知点 C,D 为线段 AB 上顺次的两点,M,N 分别是 AC,BD 的中点。
(1)若 $ AB = 24 $,$ CD = 10 $,求 MN 的长；
(2)若 $ AB = a $,$ CD = b $,请用含 a,b 的式子表示出 MN 的长。

答案： 1.解:
(1)因为AB=24,CD=10,
　所以AC+DB=14.
　因为M,N分别为AC，BD的中点，
　所以CM=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
　所以MC+DN=$\frac{1}{2}$(AC+DB)=7.
　所以MN=MC+DN+CD=17.
(2)因为AB=a,CD=b,
　所以AC+DB=a−b.
　因为M,N分别为AC,BD的中点，
　所以MC=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
　所以MC+DN=$\frac{1}{2}$(AC+DB)=$\frac{1}{2}$(a−b).
　所以MN=MC+DN+CD=$\frac{1}{2}$(a−b)+b=$\frac{1}{2}$(a+b).

2. 如图,点 C 在线段 AB 上,$ AC:BC = 3:2 $,点 M 是 AB 的中点,点 N 是 BC 的中点,若 $ MN = 3 $,求线段 AB 的长。

答案： 2.解:因为AC:BC=3:2,
所以设AC=3x,BC=2x.
　所以AB=AC+BC=3x+2x=5x.
　因为点M是AB的中点，点N是BC的中点，
　所以BM=2.5x,BN=x.
　所以MN=BM−BN=1.5x.
　因为MN=3,
　所以1.5x=3,解得x=2.
　所以AB=10.

3. 画线段 $ AB = 2\mathrm{cm} $,延长 AB 至点 C,使 $ AC = 2AB $,反向延长 AB 至点 E,使 $ AE = \frac{1}{3}CE $。
(1)线段 AC 是线段 CE 的几分之几？
(2)求线段 CE 的长。
(3)线段 CE 是线段 BC 的几倍？

答案： 3.解:根据题意，画出示意图，如图所示
EABC
(1)AC=CE−AE=CE−$\frac{1}{3}$CE=$\frac{2}{3}$CE.
(2)因为AE=$\frac{1}{3}$CE,AC=$\frac{2}{3}$CE,
　所以AC=2AE.
　因为AB=2cm,AC=2AB,
　所以AC=4cm,AE=2cm.
　所以CE=AC+AE=6cm.
(3)BC=AC−AB=2cm,所以线段CE是线段BC的3倍.

4. 如图,点 C 在线段 AB 上,$ AB = 30\mathrm{cm} $,$ AC = 12\mathrm{cm} $,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点。
(1)求 MN 的长度；
(2)若点 P 在直线 AB 上,且 $ PA = 2\mathrm{cm} $,点 Q 为 BP 的中点,求 QN 的长度。

答案：
4.解:
(1)因为AB=30cm,AC=12cm,
　所以BC=AB−AC=30−12=18(cm).
　因为点N是BC的中点，点M是AB的中点，
　所以CN=BN=$\frac{1}{2}$BC=9cm,AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=15cm.
所以MN=BM−BN=15−9=6(cm),即MN的长为6cm.
(2)分两种情况:
　①当点P在线段AB上时,如图①所示.
　　　　　　　　
因为PA=2cm,AB=30cm,
　所以BP=AB−AP=30−2=28(cm).
　因为点Q为BP的中点，
　所以QB=$\frac{1}{2}$BP=14cm.
　由
(1),得BN=9cm,
　所以QN=QB−BN=5cm;
　②当点P在线段BA的延长线上时,如图②所示.
　　　　　　　　
因为PA=2cm,AB=30cm,
　所以BP=AB+AP=30+2=32(cm).
　因为点Q为BP的中点，
　所以QB=$\frac{1}{2}$BP=16cm.
　由
(1),得BN=9cm,
　所以QN=QB−BN=7cm.
　综上所述，QN的长度为5cm或7cm.