《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

【例1】如图所示的是某个几何体的手工图纸,剪下后粘贴而成的几何体为 (B)

A.四棱柱
B.四棱锥
C.圆柱
D.圆锥

答案： B

【变式训练】
1. 一位工人师傅画了下列四个几何体的平面展开图,能折叠成三棱锥的是 (C)

答案： 1.C

2. 下列图形中,不能折叠成正方体的是 (C)

答案： 2.C

【例2】(综合与探究)数学家欧拉发现多面体的面数 $ f $、顶点数 $ v $ 和棱数 $ e $ 之间存在着有趣的关系式,并证明了它,人们把这个著名的关系式称为欧拉公式. 下面我们就来探究一下这个关系式.
做一做：下面是 5 个几何体的手工图纸,请剪下后粘贴,做成 5 个正多面体的模型；

探究：对照模型,填写下表；
|名称|对应图纸序号|面数($ f $)|顶点数($ v $)|棱数($ e $)| $ f + v - e $|
|正四面体|（1）| 4 | 4 | 6 | 2 |
|正六面体|（2）| 6 | 8 | 12 | 2 |
|正八面体|（3）| 8 | 6 | 12 | 2 |
|正十二面体|（4）| 12 | 20 | 30 | 2 |
|正二十面体|（5）| 20 | 12 | 30 | 2 |
结论：你发现顶点数($ v $)、面数($ f $)、棱数($ e $)之间存在的关系式是$f+v-e=2$；
应用：一个多面体的面数比顶点数小 8,且有 30 条棱,则这个多面体的顶点数是20.

答案： （1）（2）（3）（4）（5）$f+v-e=2$ 20

【变式训练】
3. (2024·大连)如图所示的是一个正多面体的正视图,则该正多面体的面数为 (B)


A.8
B.12
C.16
D.20

答案： 3.B

4. (2024·达州)1 个多面体有 7 个面,10 个顶点,则它的棱数只能是 (C)
A.11
B.13
C.15
D.17

答案： 4.C

5. 在简单多面体中,顶点的个数 $ v $、棱的条数 $ e $ 和面的个数 $ f $ 满足关系式：$ v + f - e = 2 $. 已知一个简单多面体棱的条数比面的个数多 5,则这个多面体顶点的个数是 (A)
A.7
B.8
C.9
D.10

答案： 5.A