《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

1. 三元一次方程组
由三个一次方程组成,且含三个未知数的方程组,叫作三元一次方程组。

答案： 一次 三个

【例1】下列方程组中,是三元一次方程组的是(C)
A.$\begin{cases}x + z = 2,\\xy + x = 4,\\z - x = 1\end{cases} $
B.$\begin{cases}x - \dfrac{3}{y} = 4,\\x + z = 6,\\y - 2z = 7\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 9,\\x - y = 4,\\z - y = 5\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 8,\\y - m = 3,\\z - x = 5\end{cases} $

答案： C

【例2】解方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 12, &①\\10x + 20y + 50z = 220, &②\\x = 4y. &③\end{cases} $

答案： 解:把③分别代入①②,得{4y+y+z=12,
40y+20y+50z=220.
整理,得{5y+z=12, ④
6y+5z=22. ⑤
④×5,得25y+5z=60.⑥
⑥-⑤,得19y=38,解得y=2.
将y=2代入③,得x=8.
将x,y的值代入①,得z=2.
所以{x=8,
y=2,
z=2.

1. 解三元一次方程组$\begin{cases}x + y + z = 3, &①\\3x + 2y + z = 10, &②\\2x - y + z = 1, &③\end{cases} 若消掉未知数z$,则应对方程组变形为(C)
A.$① + ③$,$①×2 - ②$
B.$① + ③$,$③×2 + ②$
C.$② - ①$,$② - ③$
D.$① - ②$,$①×2 - ③$

答案： C

2. 已知三元一次方程组$\begin{cases}x = y + z, &①\\x - y - 2z = 1, &②\\x - 2y - z = -2. &③\end{cases} $用代入消元法解,把$①代入②③$,可得方程组$\begin{cases}-z=1\\-y=-2\end{cases}$,从而把三元一次方程组转化为二元一次方程组求解. 本题也可以用加减消元法解. 由$① - ②$,得$z=-1$；$③ - ①$,得$y=2$；代入$①$,解得$x=1$,即原方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=-1\end{cases}$.

答案： {-z=1, z=-1 y=2 x=1 {x=1,
-y=-2, y=2,
z=-1

3. 下面是小明解三元一次方程组的消元过程. 当他解到第三步时,发现还是无法求出方程组的解.
请帮助小明分析解题错误的原因,并加以改正.
解方程组：$\begin{cases}5x + y + z = 1, &①\\2x - y + 2z = 1, &②\\x + 5y - z = -4. &③\end{cases} $
第一步：$① + ②$(消$y$),得$7x + 3z = 2$. $④$
第二步：$① + ③$(消$z$),得$6x + 6y = -3$. $⑤$
第三步：联立$④⑤$,得$\begin{cases}7x + 3z = 2,\\6x + 6y = -3.\end{cases} $
为什么求不出$x$,$y$,$z$的值呢？

答案： 解:小明在消元过程中没有消去同一个未知数,消元的目的不明确,导致无法求出方程组的解.
改正如下:
①+③,得6x+6y=-3,即2x+2y=-1.④
①×2-②,得8x+3y=1.⑤
联立④⑤,得{2x+2y=-1,④
8x+3y=1. ⑤
④×4-⑤,得5y=-5,解得y=-1.
把y=-1代入④,得2x-2=-1,解得x=1/2.
把x=1/2,y=-1代入①,得z=-1/2.
所以原方程组的解为{x=1/2,
y=-1,
z=-1/2.