《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

1. 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 3y = k,\\3x - 4y = k + 11\end{cases} $ 中的 $x$,$y$ 满足 $5x - y = 3$,求 $k$ 的值.

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y=k,①\\ 3x-4y=k+11.②\end{array}\right.$
①+②,得$5x-y=2k+11.$
因为$5x-y=3,$
所以$2k+11=3$,解得$k=-4.$

2. 已知关于 $x$,$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x + 3y = k,\\x + 2y = -1\end{cases} $ 的解互为相反数,求 $k$ 的值.

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y=k,①\\ x+2y=-1.②\end{array}\right.$
①-②,得$x+y=k+1.$
因为方程组的解互为相反数，
所以$x+y=0.$
所以$k+1=0$,解得$k=-1.$

3. 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 5y = -6,\\ax - by = -4\end{cases} $ 和方程组 $\begin{cases}3x - 5y = 16,\\bx + ay = -8\end{cases} $ 的解相同,求 $(2a + b)^{2025}$ 的值.

答案： 解:因为两个方程组的解相同，
所以解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+5y=-6,\\ 3x-5y=16,\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2.\end{array}\right.$
代入方程组$\left\{\begin{array}{l} ax-by=-4,\\ bx+ay=-8,\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l} a+b=-2,\\ -a+b=-4,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-3.\end{array}\right.$
所以$(2a+b)^{2025}=(2-3)^{2025}=-1.$

4. 解关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}ax + by = -3,\\cx - 4y = -6\end{cases} $ 时,小明把 $c$ 写错,得到错解 $\begin{cases}x = -5,\\y = -1,\end{cases} $ 而正确的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases} $ 求 $a$,$b$,$c$ 的值.

答案： 解:把$\left\{\begin{array}{l} x=-5,\\ y=-1\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1\end{array}\right.$分别代入$ax+by=-3,$
得$\left\{\begin{array}{l} -5a-b=-3,\\ 2a+b=-3,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=-7.\end{array}\right.$
把$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1\end{array}\right.$代入$cx-4y=-6$,得$2c-4=-6$,解得$c=-1.$
所以$a=2,b=-7,c=-1.$

5. 甲、乙两人解同一个二元一次方程组,甲正确地解出 $\begin{cases}x = 3,\\y = -2,\end{cases} $ 乙因把这个方程组中第二个方程 $x$ 的系数抄错了,得到一个错误的解 $\begin{cases}x = -2,\\y = 2.\end{cases} $ 他们解完之后,原方程组的三个系数被污染而看不清楚,变成下面的形式：$\begin{cases}□ x + □ y = 2,\\□ x - 7y = 8,\end{cases} $ 请把被污染的原方程组的三个正确的系数求出来.

答案： 解:设方程组的第二个方程为$ax-7y=8.$
把$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array}\right.$代入,得$3a+14=8$,解得$a=-2.$
设方程组的第一个方程为$bx+cy=2.$
把$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=2\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array}\right.$代入,得$\left\{\begin{array}{l} -b+c=1,\\ 3b-2c=2,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} b=4,\\ c=5.\end{array}\right.$
所以原方程组为$\left\{\begin{array}{l} 4x+5y=2,\\ -2x-7y=8.\end{array}\right.$
所以方程组中三个正确的系数为4,5,-2.