《2025年新编基础训练七年级数学上册通用版S》

1. 二元一次方程组的解
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫作二元一次方程组的解。

答案： 两个 值

2. 代入法
解二元一次方程组时,从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把它“代入”另一个方程,进行求解,这种方法叫作代入消元法,简称代入法。

答案： 代入 代入消元法 代入法

3. 解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是“消元”,也就是要消去其中一个未知数,把解二元一次方程组转化成解一元一次方程。

答案： 消元 二元 一元

【例1】下列各组数据中,哪些是方程 $3x - 2y = 11$ 的解？哪些是方程 $2x + 3y = 16$ 的解？哪些是方程组 $\begin{cases}3x - 2y = 11, \\ 2x + 3y = 16\end{cases} $ 的解？
①$\begin{cases}x = 1, \\ y = -4;\end{cases} $ ②$\begin{cases}x = 5, \\ y = 2;\end{cases} $ ③$\begin{cases}x = 7, \\ y = \frac{2}{3};\end{cases} $ ④$\begin{cases}x = 15, \\ y = 6.\end{cases} $

答案： 方程$3x - 2y = 11$的解：
①将$\begin{cases}x=1\\y=-4\end{cases}$代入：$3×1 - 2×(-4)=3 + 8=11$，成立；
②将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$代入：$3×5 - 2×2=15 - 4=11$，成立；
③将$\begin{cases}x=7\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$代入：$3×7 - 2×\frac{2}{3}=21 - \frac{4}{3}=\frac{59}{3}≠11$，不成立；
④将$\begin{cases}x=15\\y=6\end{cases}$代入：$3×15 - 2×6=45 - 12=33≠11$，不成立。
结论：①②
方程$2x + 3y = 16$的解：
①将$\begin{cases}x=1\\y=-4\end{cases}$代入：$2×1 + 3×(-4)=2 - 12=-10≠16$，不成立；
②将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$代入：$2×5 + 3×2=10 + 6=16$，成立；
③将$\begin{cases}x=7\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$代入：$2×7 + 3×\frac{2}{3}=14 + 2=16$，成立；
④将$\begin{cases}x=15\\y=6\end{cases}$代入：$2×15 + 3×6=30 + 18=48≠16$，不成立。
结论：②③
方程组$\begin{cases}3x - 2y = 11\\2x + 3y = 16\end{cases}$的解：
由上述结果，同时满足两个方程的解为②。
结论：②
最终答案
方程$3x - 2y = 11$的解：①②；
方程$2x + 3y = 16$的解：②③；
方程组的解：②。

1. 方程组 $\begin{cases}x + y = 5, \\ 2x + y = 7\end{cases} $ 的解是(B)
A.$\begin{cases}x = 3, \\ y = 2\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 4, \\ y = 1\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 5, \\ y = 1\end{cases} $

答案： B

2. 下列方程的一个解为 $\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases} $ 的是(B)
A.$3x + y = 6$
B.$-2x + y = -3$
C.$6x + y = 8$
D.$-x + y = 1$

答案： B

3. 若 $\begin{cases}x = -2, \\ y = 1\end{cases} $ 是二元一次方程 $mx + y = 3$ 的一个解,则 $m = $-1。

答案： -1

【例2】解方程组：
(1)$\begin{cases}x - 2y = 4, &① \\ 2x + y - 3 = 0;&②\end{cases} $
(2)$\begin{cases}3x - 5y = 6, &① \\ x + 4y = -15.&②\end{cases} $

答案：
(1)
由①得：$x = 2y + 4$ ③
将③代入②得：
$2(2y + 4) + y - 3 = 0$
$4y + 8 + y - 3 = 0$
$5y + 5 = 0$
$5y = -5$
$y = -1$
将$y = -1$代入③得：
$x = 2×(-1) + 4$
$x = 2$
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 2 \\y = -1\end{cases}$
(2)
由②得：$x = -15 - 4y$ ③
将③代入①得：
$3(-15 - 4y) - 5y = 6$
$-45 - 12y - 5y = 6$
$-17y - 45 = 6$
$-17y = 51$
$y = -3$
将$y = -3$代入③得：
$x = -15 - 4×(-3)$
$x = -15 + 12$
$x = -3$
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = -3 \\y = -3\end{cases}$