《2025年配套综合练习甘肃七年级数学上册人教版》

1. 计算.
(1) 求 $5x^{2}y,-2x^{2}y,2xy^{2},-4x^{2}y$ 的和;
(2) 求 $3x^{2}-6x+5$ 与 $4x^{2}+7x-6$ 的和;
(3) 求 $2x^{2}+xy+3y^{2}$ 与 $-x^{2}-xy+2y^{2}$ 的差.
【思路分析】求几个单项式的和就是先用加号将这几个单项式连接起来,再合并同类项.求几个多项式的和或差,首先用括号把多项式括起来,再去括号,合并同类项.
【解答】(1) $5x^{2}y+(-2x^{2}y)+2xy^{2}+(-4x^{2}y)$
$=5x^{2}y-2x^{2}y+2xy^{2}-4x^{2}y$
$=-x^{2}y+2xy^{2}$.
(2) $(3x^{2}-6x+5)+(4x^{2}+7x-6)$
$=3x^{2}-6x+5+4x^{2}+7x-6$
$=7x^{2}+x-1$.
(3) $(2x^{2}+xy+3y^{2})-(-x^{2}-xy+2y^{2})$
$=2x^{2}+xy+3y^{2}+x^{2}+xy-2y^{2}$
$=3x^{2}+2xy+y^{2}$.

答案：
(1)
$5x^{2}y + (-2x^{2}y) + 2xy^{2} + (-4x^{2}y)$
$=5x^{2}y - 2x^{2}y + 2xy^{2} - 4x^{2}y$
$=(5 - 2 - 4)x^{2}y + 2xy^{2}$
$=-x^{2}y + 2xy^{2}$
(2)
$(3x^{2}-6x + 5)+(4x^{2}+7x - 6)$
$=3x^{2}-6x + 5+4x^{2}+7x - 6$
$=(3 + 4)x^{2}+(-6 + 7)x+(5 - 6)$
$=7x^{2}+x - 1$
(3)
$(2x^{2}+xy + 3y^{2})-(-x^{2}-xy + 2y^{2})$
$=2x^{2}+xy + 3y^{2}+x^{2}+xy - 2y^{2}$
$=(2 + 1)x^{2}+(1 + 1)xy+(3 - 2)y^{2}$
$=3x^{2}+2xy + y^{2}$

2. 已知三角形的周长为 $3a+2b$,其中第一条边长为 $a+b$,第二条边比第一条边短1,求第三条边的长.
【思路分析】三角形的周长等于三条边长之和,已知周长和第一条边的长,要求第三条边的长首先要表示出第二条边的长.
【解答】$3a+2b-(a+b)-[(a+b)-1]$
$=3a+2b-a-b-a-b+1$
$=a+1$.

答案： 解：第二条边长为：$(a+b)-1$
第三条边长为：$3a+2b-(a+b)-[(a+b)-1]$
$=3a+2b-a-b-a-b+1$
$=a+1$
答：第三条边的长为$a+1$。

3. (1) 一个两位数,它的十位数字是 $x$,个位数字是 $y$.若把十位数字与个位数字对调,新数与原数的差能被9整除吗?
(2) 对于一个三位数,对调百位与个位上的数字,得到一个新的三位数.新数与原数的差能被11和3整除吗?
【思路分析】(1) 一个两位数,它的十位数字是 $x$,个位数字是 $y$,那么这个两位数 $=10x+y$.由此算出新数与原数的差即可判断.
(2) 分别表示出新三位数和原三位数,利用整式的加减计算出结果,再根据因数来进行解答.
【解答】(1) $(10y+x)-(10x+y)$
$=10y+x-10x-y$
$=9y-9x$
$=9(y-x)$,
所以新数与原数的差能被9整除.
(2) 设原三位数个位数字是 $z$,十位数字是 $y$,百位数字是 $x$,
则 $(100z+10y+x)-(100x+10y+z)$
$=100z+10y+x-100x-10y-z$
$=99z-99x$
$=99(z-x)$,
因为 $99 = 3×3×11$,
所以能被3和11整除.

答案：
(1) 原两位数为 $10x + y$，新两位数为 $10y + x$，差为：
$(10y + x) - (10x + y) = 10y + x - 10x - y = 9y - 9x = 9(y - x)$，
故新数与原数的差能被9整除。
(2) 设原三位数个位数字为 $z$，十位数字为 $y$，百位数字为 $x$，原数为 $100x + 10y + z$，新数为 $100z + 10y + x$，差为：
$(100z + 10y + x) - (100x + 10y + z) = 100z + 10y + x - 100x - 10y - z = 99z - 99x = 99(z - x)$，
因为 $99 = 3×3×11$，
故新数与原数的差能被3和11整除。