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19. (14 分)如图 22 - 8 所示,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 $ ACB $ 和矩形的三边 $ AE $,$ ED $,$ DB $ 组成,已知河底 $ ED $ 是水平的,$ ED = 16 $ m,$ AE = 8 $ m,抛物线的顶点 $ C $ 到 $ ED $ 的距离是 $ 11 $ m,以 $ ED $ 所在直线为 $ x $ 轴,抛物线的对称轴为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的 $ 40 $ h 内,水面与河底 $ ED $ 的距离 $ h $(单位：m)随时间 $ t $(单位：h)的变化满足函数关系 $ h= -\frac{1}{128}(t - 19)^{2}+8(0\leq t\leq40) $,且当水面到顶点 $ C $ 的距离不大于 $ 5 $ m 时,需禁止船只通行. 请通过计算说明在这一时段内,需禁止船只通行多少小时？
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的 $ 40 $ h 内,水面与河底 $ ED $ 的距离 $ h $(单位：m)随时间 $ t $(单位：h)的变化满足函数关系 $ h= -\frac{1}{128}(t - 19)^{2}+8(0\leq t\leq40) $,且当水面到顶点 $ C $ 的距离不大于 $ 5 $ m 时,需禁止船只通行. 请通过计算说明在这一时段内,需禁止船只通行多少小时？
答案：
(1)设抛物线的解析式为$y=ax^2+11$,由题意得$B(8,8)$,所以$64a+11=8$,解得$a=-\frac{3}{64}$,所以$y=-\frac{3}{64}x^2+11$.
(2)水面到顶点C的距离不大于5 m时,即水面与河底ED的距离h至少为6 m,令$6=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8$,解得$t_1=35,t_2=3$,所以$35-3=32(h)$.答:需禁止船只通行32 h.
(1)设抛物线的解析式为$y=ax^2+11$,由题意得$B(8,8)$,所以$64a+11=8$,解得$a=-\frac{3}{64}$,所以$y=-\frac{3}{64}x^2+11$.
(2)水面到顶点C的距离不大于5 m时,即水面与河底ED的距离h至少为6 m,令$6=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8$,解得$t_1=35,t_2=3$,所以$35-3=32(h)$.答:需禁止船只通行32 h.
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