《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

4. 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}(b^{2}-4ac\geqslant0)$.

答案： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}(b^{2}-4ac\geqslant0)$

5. 解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法.

答案： 公式法

6. 根据预习内容,回答问题.
(1)方程$7x = 2x^2 - 4$中,$a = 2$,$b = $-7,$c = $-4,$b^2 - 4ac = $81.
(2)用求根公式解方程$2x^2 - x - 3 = 0$,它的根为$x_{1}=\frac{3}{2}$,$x_{2}=-1$.

答案：
(1)-7 -4 81
(2)$x_{1}=\frac{3}{2}$,$x_{2}=-1$

1. 方程$4x^2 + x = 5化为一般形式后的a$,$b$,$c$的值分别为(C)
A.$a = 4$,$b = 1$,$c = 5$
B.$a = 1$,$b = 4$,$c = 5$
C.$a = 4$,$b = 1$,$c = -5$
D.$a = 4$,$b = -5$,$c = 1$

答案： C

2. 方程$x^2 + x - 1 = 0$的一个根是(D)
A.$1 - \sqrt{5}$
B.$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
C.$-1 + \sqrt{5}$
D.$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

答案： D 解析:因为$a=1$,$b=1$,$c=-1$,所以$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.故$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$是方程的一个根.

3. 用求根公式解方程$(2x - 1)^2 + 4 = (x + 2)^2 - 4$,先把它整理为$3x^{2}-8x+5=0$,它的根为$x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{5}{3}$.

答案： $3x^{2}-8x+5=0$ $x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{5}{3}$

4. 用公式法解方程$(x + 1)(x + 3) = 12$：
(1)化为一般形式：$x^{2}+4x-9=0$；
(2)$a = $1,$b = $4,$c = $-9；
(3)$\Delta = b^2 - 4ac = $52；
(4)写出方程的根：$x_{1}=-2+\sqrt{13}$,$x_{2}=-2-\sqrt{13}$.

答案：
(1)$x^{2}+4x-9=0$
(2)1 4 -9
(3)52
(4)$x_{1}=-2+\sqrt{13}$,$x_{2}=-2-\sqrt{13}$

5. 用公式法解下列方程：
(1)$3x^2 + 1 = 2\sqrt{3}x$；(2)$3x^2 + 2x + 1 = 0$.

答案： 解:
(1)方程化为$3x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0$.因为$a=3$,$b=-2\sqrt{3}$,$c=1$,所以$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4×3×1=0$.所以$x=\frac{2\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.所以$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)因为$a=3$,$b=2$,$c=1$,所以$\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4×3×1=4-12＜0$.所以方程无实数根.

1. 用公式法解方程$x^2 - x = 2$时,求根公式中的$a$,$b$,$c$的值分别是(D)
A.$a = 1$,$b = 1$,$c = 2$
B.$a = 1$,$b = -1$,$c = 2$
C.$a = 1$,$b = 1$,$c = -2$
D.$a = 1$,$b = -1$,$c = -2$

答案： D

2. 用公式法解得一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根互为相反数,则(A)
A.$b = 0$
B.$c = 0$
C.$b^2 - 4ac = 0$
D.$b + c = 0$

答案： A 解析:一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根分别为$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,所以$x_{1}+x_{2}=\frac{-2b}{2a}$.因为$x_{1},x_{2}$互为相反数,所以$x_{1}+x_{2}=0$,即$\frac{b}{a}=0$,所以$b=0$.

3. 用公式法解$3x^2 - 7x + 1 = 0$的正确结果是(D)
A.$x = \frac{7 + \sqrt{37}}{3}$
B.$x = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$
C.$x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{3}$
D.$x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{6}$

答案： D

4. 用公式法解方程$(x + 2)^2 = 6(x + 2) - 4$时,$b^2 - 4ac$的值为(20)
A.52
B.32
C.20
D.-12

答案： C 解析:将方程整理成一般形式得$x^{2}-2x-4=0$,所以$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-4)=4+16=20$.

5. 关于$x的一元二次方程x^2 - px + q = 0(4q ＜ p^2)$的两个根是($\frac{p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$)
A.$x = \frac{p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
B.$x = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
C.$x = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 + 4q}}{2}$
D.$x = \frac{q \pm \sqrt{p^2 + 4q}}{2}$

答案： A 解析:因为$a=1$,$b=-p$,$c=q$,所以$\Delta=b^{2}-4ac=p^{2}-4q$.又因为$4q＜p^{2}$,所以$p^{2}-4q＞0$,所以$x=\frac{p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$.