《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

7. 如果关于$x的一元二次方程2x(kx - 4) - x^2 + 6 = 0$没有实数根,那么$k$的最小整数值为2.

答案： 2 解析:将一元二次方程整理成一般形式得$(2k-1)x^{2}-8x+6=0$,因为没有实数根,所以$\Delta=(-8)^{2}-4(2k-1)×6＜0$,解得$k＞\frac{11}{6}$.故 k 的最小整数值为 2.

8. 已知关于$x的方程kx^2 - 4kx + k - 5 = 0$有两个相等的实数根,求$k$的值,并解这个方程.

答案： 解:因为方程有两个相等的实数根,所以$b^{2}-4ac=(-4k)^{2}-4× k×(k-5)=0$,所以$3k^{2}+5k=0$,解得$k_{1}=0$,$k_{2}=-\frac{5}{3}$.因为$k\neq0$,所以取$k=-\frac{5}{3}$.将$k=-\frac{5}{3}$代入原方程得$-\frac{5}{3}x^{2}-4×(-\frac{5}{3})x+(-\frac{5}{3})-5=0$,即$x^{2}-4x+4=0$,解得$x_{1}=x_{2}=2$.

9. 求证：不论$m$为何实数,关于$x的一元二次方程x^2 + (4m + 1)x + 2m - 1 = 0$总有两个不等的实数根.

答案： 证明:因为$\Delta=(4m+1)^{2}-4(2m-1)=16m^{2}+5$,又因为$16m^{2}\geqslant0$,所以$\Delta=16m^{2}+5＞0$.所以不论 m 为何实数,关于 x 的一元二次方程$x^{2}+(4m+1)x+2m-1=0$总有两个不等的实数根.

10. 在等腰$\triangle ABC$中,三边长分别为$a$,$b$,$c$,其中$a = 5$,若关于$x的方程x^2 + (b + 2)x + 6 - b = 0$有两个相等的实数根,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解:根据题意,得$\Delta=(b+2)^{2}-4(6-b)=b^{2}+8b-20=0$,解得$b=2$或$b=-10$(不合题意,舍去).所以$b=2$.当$c=b=2$时,$b+c=4＜5$,不合题意.当$c=a=5$时,$a+b+c=12$,所以$\triangle ABC$的周长为 12.

1. 解方程$2x^2 - 3x - 2 = 0$,为了便于配方,我们将常数项移到右边,得到$2x^2 - 3x = $2；再把二次项系数化为1,得$x^2 -$$\frac{3}{2}$$x = $1；然后配方,得$x^2 -$$\frac{3}{2}$$x +$$\frac{9}{16}$$=$$\frac{25}{16}$,进一步得到$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$,解得方程的两根为$x_{1}=-\frac{1}{2}$,$x_{2}=2$.

答案： 2 $\frac{3}{2}$ 1 $\frac{3}{2}$ $\frac{9}{16}$ $\frac{25}{16}$ $x_{1}=-\frac{1}{2}$,$x_{2}=2$

2. 将一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$配方成$(x + h)^2 = k$的形式为$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.

答案： $(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

3. 一般地,式子$b^{2}-4ac$叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$根的判别式.

答案： $b^{2}-4ac$