《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

3. 切线长及其定理
(1) 概念：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫作这点到圆的切线长。
(2) 定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

答案：
(1)切点　
(2)两　相等　平分

4. 三角形的内切圆
(1) 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。
(2) 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫作三角形的内心,它到三角形三边的距离相等。

答案：
(1)内切圆　
(2)三条角平分线　内心　三边

5. 根据预习内容,回答问题。
已知$PA$,$PB是\odot O$的切线,$A$,$B$是切点,如果$\angle AOB = 136^{\circ}$,那么$\angle P = $$44^{\circ}$。

答案： $44^{\circ}$　解析:因为$PA$,$PB$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp PA$,$OB\perp PB$.在四边形$PAOB$中,$\angle PAO=\angle PBO = 90^{\circ}$,所以$\angle AOB+\angle P = 180^{\circ}$,所以$\angle P = 180^{\circ}-\angle AOB = 44^{\circ}$.

1. 从圆外一点向半径为$9$的圆作切线,若切线长为$18$,则从这一点到圆的最短距离为( )

A.$9\sqrt{3}$
B.$9(\sqrt{3} - 1)$
C.$9(\sqrt{5} - 1)$
D.$9$

答案：
C　解析:如图D - 24 - 18所示,因为$PA$切$\odot O$于点$A$,

所以$\angle OAP = 90^{\circ}$,$PA = 18$,$OA = 9$,所以$PO=\sqrt{18^{2}+9^{2}} = 9\sqrt{5}$,所以$PB = 9\sqrt{5}-9 = 9(\sqrt{5}-1)$.

2. 如图24-2-22所示,$PA$,$PB是\odot O$的切线,$AC是\odot O$的直径,$\angle P = 40^{\circ}$,则$\angle BAC = $$20^{\circ}$。

答案： $20^{\circ}$　解析:因为$PA$,$PB$是$\odot O$的切线,所以$PA = PB$,$\angle PAC = 90^{\circ}$,所以$\angle PAB=\angle PBA=\frac{180^{\circ}-\angle P}{2}=70^{\circ}$,所以$\angle BAC=\angle PAC-\angle PAB = 90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$.

3. 如图24-2-23所示,$I是\triangle ABC$的内心,$\angle A = 80^{\circ}$,求$\angle BIC$的度数。

答案： 解:因为$\angle A = 80^{\circ}$,所以$\angle ABC+\angle ACB = 100^{\circ}$.因为$I$是$\triangle ABC$的内心,所以$\angle IBC=\frac{1}{2}\angle ABC$,$\angle ICB=\frac{1}{2}\angle ACB$.所以$\angle IBC+\angle ICB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=50^{\circ}$.所以$\angle BIC = 180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$.

4. 如图24-2-24所示,$PA$,$PB分别是\odot O$的切线,$A$,$B$是切点,$\angle OAB = 30^{\circ}$。
(1) 求$\angle APB$的度数；
(2) 当$OA = 3$时,求$AP$的长。

答案：
解:
(1)因为$PA$,$PB$是$\odot O$的切线，所以$PA = PB$,$OA\perp PA$.又$\angle OAB = 30^{\circ}$所以$\angle BAP = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.所以$\triangle ABP$是等边三角形，所以$\angle APB = 60^{\circ}$.
(2)如图D - 24 - 19所示,连接$OP$.

因为$PA$,$PB$分别是$\odot O$的切线，所以$PO$平分$\angle APB$,即$\angle APO=\frac{1}{2}\angle APB = 30^{\circ}$.在$Rt\triangle OAP$中,$OA = 3$,$\angle APO = 30^{\circ}$,所以$OP = 2OA = 6$.由勾股定理得$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}} = 3\sqrt{3}$.