《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

8. 如图24-2-20所示,在$\triangle ABC$中,以$AB为直径作\odot O交BC于点D$,$DE交AC于点E$。
(1) 若$AB = AC$,且$DE \perp AC$。
求证：$DE是\odot O$的切线。
(2) 若$AB = AC$,$DE切\odot O于点D$。
求证：$DE \perp AC$。
(3) 若$DE切\odot O于点D$,且$DE \perp AC$。
求证：$AB = AC$。

答案： 证明:连接$OD$(图略).
(1)因为$AB = AC$,所以$\angle ABC=\angle C$.因为$OB = OD$,所以$\angle ABC=\angle ODB$.所以$\angle C=\angle ODB$.所以$OD// AC$.因为$DE\perp AC$,所以$OD\perp DE$.因为点$D$在$\odot O$上,所以$DE$是$\odot O$的切线.
(2)因为$AB = AC$,所以$\angle ABC=\angle C$.因为$OB = OD$,所以$\angle ABC=\angle ODB$.所以$\angle C=\angle ODB$.所以$OD// AC$.因为$DE$切$\odot O$于点$D$,所以$OD\perp DE$,所以$DE\perp AC$.
(3)因为$DE$切$\odot O$于点$D$,所以$OD\perp DE$.又$AC\perp DE$,所以$OD// AC$.所以$\angle C=\angle ODB$.因为$OD = OB$,所以$\angle B=\angle ODB$.所以$\angle B=\angle C$,所以$AB = AC$.

9. 如图24-2-21所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D是边AB$上的一点,且$\angle A = 2\angle DCB$。点$E是BC$上的一点,以$EC为直径的\odot O经过点D$。
(1) 求证：$AB是\odot O$的切线；
(2) 若$CD的弦心距为1$,$BE = EO$,求$BD$的长。

答案：

(1)证明:如图D - 24 - 17所示,连接$OD$,

因为$\angle BOD = 2\angle DCB$,$\angle A = 2\angle DCB$,所以$\angle A=\angle BOD$.又$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$,所以$\angle BOD+\angle B = 90^{\circ}$,所以$\angle BDO = 90^{\circ}$,所以$OD\perp AB$.因为点$D$在$\odot O$上，所以$AB$是$\odot O$的切线.
(2)解法1:如图D - 24 - 17所示,过点$O$作$OM\perp CD$于点$M$.因为$OD = OE = BE=\frac{1}{2}BO$,$\angle BDO = 90^{\circ}$,所以$\angle B = 30^{\circ}$,所以$\angle DOB = 60^{\circ}$,所以$\angle DCB = 30^{\circ}$,所以$OC = 2OM = 2$,所以$OD = OC = 2$,$BO = 4$.由勾股定理得$BD = 2\sqrt{3}$.
解法2:如图D - 24 - 17所示,连接$DE$,因为$OM\perp CD$,所以$CM = DM$.又$OC = OE$,所以$DE = 2OM = 2$.在$Rt\triangle BDO$中,$OE = BE$,所以$DE=\frac{1}{2}BO$,所以$BO = 4$,所以$OD = OE = 2$.由勾股定理得$BD = 2\sqrt{3}$.

 1. 圆的切线垂直于过切点的半径。

答案： 垂直于

2. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫作这个三角形的外心。

答案： 三角形的外接圆　垂直平分线的交点　外心