《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

8. 已知二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c(a\neq0) $ 的图象如图 22 - 2 所示,则一次函数 $ y= (b+c)x+a $ 的大致图象是( )

答案： A 解析:因为抛物线开口向下,所以$a＜0$.由二次函数图象知当$x=1$时,$y＞0$,即$a+b+c＞0$,所以$b+c＞-a＞0$,所以直线$y=(b+c)x+a$经过第一、三、四象限.

9. 如图 22 - 3 所示,函数 $ y= -x^{2}+bx+c $ 的部分图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点分别为 $ A(1,0) $,$ B(0,3) $,对称轴是直线 $ x= -1 $,则下列结论中错误的是( )

A.顶点坐标是 $ (-1,4) $
B.函数解析式为 $ y= -x^{2}-2x+3 $
C.当 $ x＜0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.抛物线与 $ x $ 轴的另一交点是 $ (-3,0) $

答案： C 解析:因为抛物线与x轴、y轴的交点分别为$A(1,0),B(0,3)$,所以$\begin{cases}-1+b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3,\end{cases}$所以函数解析式为$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,故A,B正确;因为点A$(1,0)$关于对称轴直线$x=-1$的对称点为$(-3,0)$,所以D正确;因为当$x＜0$时,y随x的增大应先增大后减小,所以C错误.

10. 若抛物线 $ y= x^{2}+2(k - 1)x + 3 $ 的顶点在 $ y $ 轴的右侧,则 $ k $ 的取值范围是______.

答案： $k＜1$ 解析:要使抛物线的顶点在y轴的右侧,就是使对称轴在y轴的右侧,所以$-\frac{b}{2a}＞0$,即$-\frac{2(k-1)}{2}＞0$,解得$k＜1$.

11. 抛物线 $ y= ax^{2}+bx+c $ 上部分点的横坐标 $ x $、纵坐标 $ y $ 的对应值如下表：
| $ x $ | …$ $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 0 $ | $ 4 $ | $ 6 $ | $ 6 $ | $ 4 $ | …$ $ |
从上表可知,下列说法中正确的是______.(填写序号)
①抛物线与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (3,0) $；
②函数 $ y= ax^{2}+bx+c $ 的最大值为 $ 6 $；
③抛物线的对称轴为直线 $ x= \frac{1}{2} $；
④在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.

答案： ①③④ 解析:由表中x,y的值可知,抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$,抛物线与x轴的一个交点为$(-2,0)$,此点关于对称轴对称的点为$(3,0)$,即①③正确;由表中数据可知,抛物线开口向下,抛物线的最高点是顶点,即函数$y=ax^2+bx+c$的最大值是当$x=\frac{1}{2}$时的函数值,故②错误;在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,故④正确.

12. 若抛物线 $ y= ax^{2}+bx+c $ 经过 $ (0,1) $ 和 $ (2,-3) $ 两点,且开口向下,对称轴在 $ y $ 轴的左侧,则 $ a $ 的取值范围是______.

答案： $-1＜a＜0$ 解析:因为抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$(0,1)$和$(2,-3)$两点,所以$\begin{cases}c=1,\\4a+2b+c=-3,\end{cases}$所以$b=-2a-2$.又因为抛物线开口向下,对称轴在y轴的左侧,所以$\begin{cases}a＜0,\\-\frac{b}{2a}＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}a＜0,\frac{2a+2}{2a}＜0,\end{cases}$所以$-1＜a＜0$.

13. 在平面直角坐标系中,将二次函数 $ y= (x - 2)^{2}+2 $ 的图象向左平移 2 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为______.

答案： $y=x^2+2$ 解析:$y=(x-2)^2+2\xrightarrow{向左平移2个单位长度}y=[(x-2)+2]^2+2$,即$y=x^2+2$.

14. 抛物线 $ y= -x^{2}+bx+c $ 的部分图象如图 22 - 4 所示,若 $ y＞0 $,则 $ x $ 的取值范围是______.

答案： $-3＜x＜1$ 解析:根据抛物线的对称性可知该抛物线与x轴的另一交点是$(-3,0)$,观察图象可得当$-3＜x＜1$时,$y＞0$.

15. 如图 22 - 5 所示,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 是抛物线 $ y= a(x - 3)^{2}+k $ 与 $ y $ 轴的交点,点 $ B $ 是这条抛物线上的另一点,且 $ AB// x $ 轴,则以 $ AB $ 为边的等边三角形 $ ABC $ 的周长为______.

答案： 18 解析:因为抛物线$y=a(x-3)^2+k$的对称轴为直线$x=3$,且$AB// x$轴,所以$AB=2×3=6$,所以等边$\triangle ABC$的周长为$3×6=18$.