《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

16. (8分)关于$x的一元二次方程x^{2} + 2x + k + 1 = 0的实数解是x_{1}和x_{2}$。
(1)求$k$的取值范围；
(2)已知$x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2} ＜ -1$,且$k$为整数,求$k$的值。

答案：
(1)因为方程有实数根,所以Δ=2²-4(k+1)≥0,解得k≤0,所以k的取值范围是k≤0.
(2)根据根与系数的关系得x₁+x₂=-2,x₁x₂=k+1,所以x₁+x₂-x₁x₂=-2-(k+1).由已知,得-2-k-1＜-1,解得k＞-2.又由
(1)得k≤0,所以-2＜k≤0.因为k为整数,所以k的值为-1或0.

17. (8分)已知关于$x的方程x^{2} + kx - 2 = 0的一个解与方程\frac{x + 1}{x - 1} = 3$的解相同。
(1)求$k$的值；
(2)求方程$x^{2} + kx - 2 = 0$的另一个解。

答案：
(1)解方程(x+1)/(x-1)=3,得x=2,经检验x=2是原方程的解.因为方程x²+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同,所以x=2是方程x²+kx-2=0的解.把x=2代入方程x²+kx-2=0得2+2k=0,解得k=-1.
(2)设方程x²+kx-2=0的另一个解为x₁,根据根与系数的关系得2x₁=-2,所以x₁=-1.故方程的另一个解为x=-1.