《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

9. 已知$x = 1是方程x^{2} + bx - 2 = 0$的一个根,则方程的另一个根是______。

答案： x=-2 解析:设另一个根为x₁,根据根与系数的关系得1·x₁=-2,所以x₁=-2.

10. 已知$(a^{2} + b^{2} + 1)^{2} = 4$,则$a^{2} + b^{2} = $______。

答案： 1 解析:因为(a²+b²+1)²=4,所以a²+b²+1=±2,所以a²+b²=-1±2,所以a²+b²=-3或a²+b²=1.因为a²+b²≥0,所以a²+b²=-3(舍去),故a²+b²=1.

11. 若两数的和为-7,积为12,则这两个数分别为______。

答案： -3和-4 解析:若设其中一个数为x,则另一个数为(-7-x).根据题意得x(-7-x)=12,解得x₁=-3,x₂=-4.当x=-3时,-7-x=-4;当x=-4时,-7-x=-3,所以这两个数分别为-3和-4.

12. 若三角形的一边长为10,另两边长是方程$x^{2} - 14x + 48 = 0$的两个实数根,则这个三角形是______三角形。

答案： 直角 解析:解出方程的两个根分别为6和8,由于6²+8²=10²,通过勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形.

13. 已知关于$x的方程3x^{2} - (3m - 1)x + m - 5 = 0$。
(1)当$m = $______时,方程两根互为相反数；
(2)当$m = $______时,方程两根互为倒数；
(3)当$m = $______时,方程有一根为0。

答案：
(1)1/3 解析:由题意知(3m-1)/3=0,所以m=1/3.
(2)8 解析:由题意知(m-5)/3=1,所以m=8.
(3)5 解析:由题意知m-5=0,所以m=5.

14. (15分)解方程：
(1)$(x + 3)(x - 1) = 5$；
(2)$2x^{2} + 3 = 7x$；(用配方法)
(3)$(3x - 2)^{2} = 3x - 2$。

答案： 解:
(1)(x+3)(x-1)=5,所以x²+2x-3=5,x²+2x-8=0,所以(x+4)(x-2)=0,所以x+4=0或x-2=0,所以x₁=-4,x₂=2.
(2)2x²+3=7x,所以2x²-7x=-3,x²-7/2x=-3/2,x²-7/2x+49/16=-3/2+49/16,所以(x-7/4)²=25/16,所以x-7/4=±5/4,所以x₁=5/4+7/4=3,x₂=-5/4+7/4=1/2.
(3)移项得(3x-2)²-(3x-2)=0,因式分解得(3x-2)(3x-2-1)=0,所以3x-2=0或3x-3=0,所以x₁=2/3,x₂=1.

15. (6分)已知关于$x的一元二次方程x^{2} - 4x + m - 1 = 0$有两个相等的实数根,求$m$的值及方程的根。

答案： 解:由题意可知Δ=0,即(-4)²-4(m-1)=0,解得m=5.当m=5时,原方程化为x²-4x+4=0.解得x₁=x₂=2.所以原方程的根为x₁=x₂=2.