《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学上册人教版》

1. 已知关于$x的方程2x^2 + px + q = 0$的两根之和为4,两根之积为-3,则$p和q$的值为(D)
A.$p = 9,q = -6$
B.$p = -4,q = -3$
C.$p = -3,q = 4$
D.$p = -8,q = -6$

答案： D 解析:因为$\frac{-p}{2}=4$,$\frac{q}{2}=-3$,所以$p=-8$,$q=-6$.

2. 下列方程中,两根均为负数的一元二次方程是(C)
A.$7x^2 - 12x + 5 = 0$
B.$6x^2 - 13x - 5 = 0$
C.$4x^2 + 21x + 5 = 0$
D.$2x^2 + 15x - 8 = 0$

答案： C 解析:两根均为负数,根据根与系数的关系知$-\frac{b}{a}＜0$,$\frac{c}{a}＞0$.所以符合条件的只有选项C.

3. 已知关于$x的方程x^2 - 2x + m^2 - 4 = 0$的两个根互为倒数,则$m$的值为(C)
A.$-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\pm\sqrt{5}$
D.$\pm2$

答案： C 解析:因为方程的两个根互为倒数,所以两根之积等于1,即$m^2-4=1$,所以$m^2=5$.所以$m=\pm\sqrt{5}$.

4. 若关于$x的方程2x^2 - 3x + c = 0的一根为\frac{1}{2}$,则另一根为(1)
A.0
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$

答案： C 解析:设另一根为$x_1$,则$x_1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,所以$x_1=1$.

5. 以-2,1为根的一元二次方程是(A)
A.$x^2 + x - 2 = 0$
B.$x^2 - x - 2 = 0$
C.$x^2 + x + 2 = 0$
D.$x^2 - x + 2 = 0$

答案： A

6. 已知关于$x的一元二次方程x^2 + bx + c = 0$的两个实数根分别为1和2,则$b=$-3,$c=$2。

答案： -3 2 解析:因为$\begin{cases}1+2=-b,\\1×2=c,\end{cases}$所以$\begin{cases}b=-3,\\c=2.\end{cases}$

7. 若关于$x的方程3(m + 1)x^2 - 5mx + 3m = 2$的两根互为相反数,则$m$的值为0。

答案： 0 解析:因为两根互为相反数,所以两根之和等于0,即$-\frac{-5m}{3(m+1)}=0$,解得$m=0$.当$m=0$时,$b^2-4ac=-4×3×(-2)=24＞0$,故$m=0$.

8. 设$m,n是一元二次方程x^2 + 3x - 7 = 0$的两个根,则$m^2 + 4m + n= $4。

答案： 4 解析:因为$m,n$是一元二次方程$x^2+3x-7=0$的两个实数根,所以$m+n=-3$,$m^2+3m-7=0$.所以$m^2+4m+n=m^2+3m+m+n=7+(-3)=4$.

9. 若$x_1,x_2是方程2x^2 + 5x - 1 = 0$的两个实数根,求下列各式的值：
(1) $(x_1 - 1)(x_2 - 1)$；
(2) $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$。

答案： 解:因为$x_1+x_2=-\frac{5}{2}$,$x_1x_2=-\frac{1}{2}$,所以
(1)$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-x_1-x_2+1=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1=3$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-\frac{5}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{29}{2}$.

10. 若关于$x的一元二次方程x^2 - 4x + k - 3 = 0的两个实数根为x_1,x_2$,且满足$x_1 = 3x_2$,试求出方程的两个实数根及$k$的值。

答案： 解:由根与系数的关系,得$\begin{cases}x_1+x_2=4,\quad①\\x_1x_2=k-3.\quad②\end{cases}$又因为$x_1=3x_2$,③联立①③,得$\begin{cases}x_1+x_2=4,\\x_1=3x_2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=3,\\x_2=1.\end{cases}$所以$k=x_1x_2+3=3×1+3=6$.答:方程的两根为$x_1=3$,$x_2=1$;$k=6$.