《2025年伴你学北京师范大学出版社七年级数学上册北师大版山西专版》

12. 如图①,线段OP表示一条拉直后长度为20 cm的细绳,点A和点B在线段OP上,OA：AP = 2：3,OB：BP = 3：7。固定A点,将线段OA折向AP,折后OA重叠在AP上。在图②中与B点重叠处剪开,细绳被分成三段,在这三段细绳中,最短细绳的长度为4 cm。

答案： 4 cm

13. (13分)如图,已知∠AOB,点M在OB上。
(1)尺规作图：①分别以射线OA,OB为边,在∠AOB的外部作∠AOC = ∠AOB,∠BOD = 2∠AOB；
②在射线OA的反向延长线上截取ON = 2OM。
(2)若∠AOB = 22.5°,直接写出∠COD和∠NOD的度数。

答案： 解:
(1)略
(2)∠COD=90°,∠NOD=112.5°。

14. (13分)在数学课上,老师给出一个新定义：若点C在线段AB上,且BC = 2AC或AC = 2BC,则称点C是线段AB的“优点”,线段AC,BC称作互为“优点”伴侣线段。例如,在图①中,线段AB的长度为9,点C在AB上,AC的长度为6,则点C是线段AB的一个“优点”。
[发现问题]
(1)同学们发现图①中还有一个“优点”,设这个点为D,请在图①中画出,并说明点D是哪条线段的中点。

[解决问题]
如图②,数轴上有四个点E,O,G,F,它们表示的数依次为1,0,-3,-5。
(2)若点M在点N的左侧,且M,N均为线段EF的“优点”,求线段MN的长。
(3)若点H在线段EG的延长线上,且线段EG与HG互为“优点”伴侣线段,请直接写出点H表示的数。

答案：
解:
(1)如图，点D为所求作的点。 点D是线段AC的中点。理由如下:因为点C、点D是线段AB的“优点”，且点D在点C的左侧，所以AD= $\frac{1}{3}$AB,AC= $\frac{2}{3}$AB。所以CD=AC - AD= $\frac{2}{3}$AB - $\frac{1}{3}$AB= $\frac{1}{3}$AB。所以AD=CD。所以点D是线段AC的中点。
(2)因为点E表示的数是1，点F表示的数是 - 5，所以EF=1 - (- 5)=6。因为点M在点N的左侧，且M,N均为线段EF的“优点”，所以FM= $\frac{1}{3}$EF=2，FN= $\frac{2}{3}$EF=4。所以MN=FN - FM=4 - 2=2。所以线段MN的长是2。
(3)点H表示的数是 - 5或 - 11。