《2025年伴你学北京师范大学出版社七年级数学上册北师大版山西专版》

22. (6分)阅读与思考
下面是小雨同学一篇数学日记的一部分,请你认真阅读,并完成相应的任务。
利用运算律解释“负负得正”
今天上课时,我知道了：两个非零有理数相乘,可以分为“正数×正数”“负数×正数”“正数×负数”与“负数×负数”四种类型。对于前三种乘法法则的探索过程,我都理解,但是对于“负负得正”的结论,仍然存在疑问。通过重新梳理探索的过程,我理解了“负负得正”的道理,进一步体会到运算律在探索法则中的作用。
探索1：对于“正数×正数”和“负数×正数”,可根据乘法与加法的关系进行。
例如：$3×4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$；①
$(-3)×4 = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12$。②
探索2：对于“正数×负数”,可以转化为“负数×正数”得出结论。
例如：$3×(-4)$
$= (-4)×3$(依据1：______)
$= -12$。
即$3×(-4) = -12$。③
综合①与②,①与③的关系可以发现：两个正有理数相乘,如果其中一个因数不变,另一个因数变为其相反数时,乘积也与原来的积互为相反数。【结论】
例如：$5×6 = 30$,而$5×(-6)与(-5)×6$的结果都是-30,符合上述结论。
探索3：对于“负数×负数”,受“探索2”中所得结论的启发,我的思考如下。
以$(-3)×(-4)$为例,猜想$(-3)×(-4)的积与(-3)×4$的积也互为相反数。
对于这一猜想,我的分析如下：$(-3)×(-4) + (-3)×4$
$= (-3)×[(-4) + 4]$(依据2：______)
$= (-3)×0$
$= 0$。
所以$(-3)×(-4) + (-3)×4 = 0$,即$(-3)×(-4)的积与(-3)×4$的积互为相反数。
因为$(-3)×4 = -12$,所以$(-3)×(-4) = -(-12) = 12$,即两个负数的乘积是一个正数。
……
任务：
(1) 写出上述探索过程中的两个依据：
依据1：乘法交换律；
依据2：乘法对加法的分配律；
(2) 仿照“探索3”的思路,说明“$(-5)×(-2) = 10$”。
将(-5)×(-2)中的-2换成它的相反数2，得到(-5)×2，猜想(-5)×(-2)与(-5)×2的积互为相反数。
因为(-5)×(-2) + (-5)×2
= (-5)×[(-2) + 2]
= (-5)×0
= 0，
所以(-5)×(-2)的积与(-5)×2的积互为相反数。
因为(-5)×2 = -10，
所以(-5)×(-2) = -(-10) = 10。

答案： 解:
(1)乘法交换律　乘法对加法的分配律
(2)将(- 5)×(- 2)中的 - 2换成它的相反数2，得到(- 5)×2，猜想(- 5)×(- 2)与(- 5)×2的积互为相反数。
　因为(- 5)×(- 2) + (- 5)×2
　　　 = (- 5)×[(- 2) + 2]
　　　 = (- 5)×0
　　　 = 0，
　所以(- 5)×(- 2)的积与(- 5)×2的积互为相反数。
　　因为(- 5)×2 = - 10，
　所以(- 5)×(- 2) = - (- 10) = 10。