《2025年初中同步练习册七年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

10. 若 $A$,$B$,$C$ 三点在同一直线上,且线段 $AB = 4\ cm$,$BC = 2\ cm$,则 $A$,$C$ 两点之间的距离为(C)。
A.$2\ cm$
B.$6\ cm$
C.$2\ cm$ 或 $6\ cm$
D.无法确定

答案： C

11. 已知点 $M$ 在线段 $AB$ 上,在 ①$AB = 2AM$,②$BM= \frac{1}{2}AB$,③$AM = BM$,④$AM + BM = AB$ 四个式子中,能说明 $M$ 是线段 $AB$ 的中点的式子有(C)。
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： C

12. 已知 $A$,$B$,$C$ 三点在同一条直线上,点 $M$,$N$ 分别为线段 $AB$,$BC$ 的中点,且 $AB = 50$,$BC = 20$,求 $MN$ 的长。

答案：
解:因为点M,N分别为AB，BC的中点，所以$BM=\frac{1}{2}AB=25$,$BN=\frac{1}{2}BC=10$。如图①,$MN=BM+BN=25+10=35$；如图②,$MN=BM - BN=25 - 10=15$。综上,MN的长为35或15。

13.【数学应用】已知平面上四点 $A$,$B$,$C$,$D$(每三点都不在一条直线上)。
(1) 经过这四点最多能确定6条直线。
(2) 如图,现用这四点表示公园里的四个地方,如果点 $B$,$C$ 在公园里湖对岸两处,$A$,$D$ 在湖面上,要从 $B$ 到 $C$ 筑桥,从节省材料的角度考虑,应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择哪一条？为什么？

解:从节省材料的角度考虑,应选择题图中路线②；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择题图中路线①。因为两点之间线段最短,所以路线②比路线①短,可以节省材料；而路线①较长,可以在桥上较长时间观赏湖面风光。(答案合理即可)

答案：
(1)6
(2)解:从节省材料的角度考虑,应选择题图中路线②；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择题图中路线①。因为两点之间线段最短,所以路线②比路线①短,可以节省材料；而路线①较长,可以在桥上较长时间观赏湖面风光。(答案合理即可)

14.【综合与实践】如图,$A$,$B$,$C$ 是一条公路上的三个村庄,$A$,$B$ 间的路程为 $100\ km$,$A$,$C$ 间的路程为 $40\ km$。现计划在 $A$,$B$ 之间建一个车站 $P$,设 $P$,$C$ 之间的路程为 $x\ km$。
(1) 用含 $x$ 的代数式表示车站到三个村庄的路程之和。
(2) 若路程之和为 $102\ km$,则车站应建在何处？
(3) 若要使车站到三个村庄的路程总和最小,则车站应建在何处？路程总和的最小值是多少？

答案： 1. （1）
已知$AP=(40 + x)km$，$BP=(100-(40 + x))km=(60 - x)km$，$PC = xkm$。
则路程之和$S=AP + BP+PC=(40 + x)+(60 - x)+x$。
化简$S=(40 + 60)+(x - x)+x=(100 + x)km$。
2. （2）
当$S = 102km$时，即$100 + x=102$。
解方程$x=102 - 100=2$。
所以车站建在$C$两侧$2km$处（当$x = 2$时，若$P$在$C$右侧，$AP=40 + 2=42km$，$BP=60-2 = 58km$；若$P$在$C$左侧，$AP=40-2 = 38km$，$BP=60 + 2=62km$）。
3. （3）
因为$S=100 + x$，$x\geqslant0$。
根据一次函数$y = kx + b$（这里$k = 1\gt0$，$b = 100$）的性质，$y$随$x$的增大而增大。
所以当$x = 0$时，$S$取得最小值。
此时$S_{min}=100km$，车站建在$C$处。
综上，（1）路程之和为$(100 + x)km$；（2）车站建在$C$两侧$2km$处；（3）车站建在$C$处，路程总和最小值是$100km$。