《2025年初中同步练习册七年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

6. 【数学文化】《庄子·天下》中写道：“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”(“尺”是我国传统长度单位)意思是：一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,那么$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + … + \frac{1}{2^{n}} = $$\frac{2^n-1}{2^n}$。

答案： $\frac{2^n-1}{2^n}$

7. 观察下列等式：$1×\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$,$2×\frac{2}{3} = 2 - \frac{2}{3}$,$3×\frac{3}{4} = 3 - \frac{3}{4}$,…,完成下列任务：
(1)$9×\frac{9}{10}=9-\frac{9}{10}$请写出第 9 个等式；
(2)猜想第$n$个等式,并说明它的正确性。

答案：
(1)$9×\frac{9}{10}=9-\frac{9}{10}$
(2)猜想:$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$。
左边$=\frac{n^2}{n+1}$,
右边$=\frac{n(n+1)}{n+1}-\frac{n}{n+1}=\frac{n^2+n-n}{n+1}=\frac{n^2}{n+1}$。
因为左边=右边，
所以$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$正确。

8. 【综合与实践】阶梯的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标着$-5$,$-2$,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试
(1)求前 4 个台阶上的数的和；
(2)求第 5 个台阶上的数。
应用
(3)求从下到上前 31 个台阶上的数的和。
发现
(4)试用含$k$($k$为正整数)的式子表示出数“1”所在台阶数。

答案：
(1)$-5-2+1+9=3$。
(2)设第5个台阶上的数为$x$。由题意,得
$-2+1+9+x=3$,解得$x=-5$。
(3)每4个相邻台阶上的数的和为3,前
31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+$
$1)=15$。
(4)发现“1”出现在每组4个数的第3个，
也就是第3、第7、第11……个台阶上,且
$3=4×1-1$,$7=4×2-1$,$11=4×3-1$,…,
所以“1”出现的台阶数为$4k-1$。

9. 【跨学科】观察下面三种化合物的结构式及分子式,如果按其规律,那么下一种化合物的分子式应该是$C_4H_{10}$。

答案： $C_4H_{10}$