《2025年初中同步练习册七年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

10. 当 $ a = \frac{1}{3} $,$ b = 9 $ 时,下列代数式的值为 24 的是(A)。
A.$ (3a + 2)(b - 1) $
B.$ (2a + 1)(b + 10) $
C.$ (2a + 3)(b - 1) $
D.$ (a + 2)(b + 11) $

答案： A

11. 当 $ x = 1 $ 时,代数式 $ ax^{5} + bx^{3} $ 的值是 5,则当 $ x = - 1 $ 时,代数式 $ ax^{5} + bx^{3} + 1 $ 的值是-4。

答案： -4

12. 已知 $ m + 4m^{3} = 6 $,则 $ 3m + 12m^{3} - (m + 4m^{3})^{2} $ 的值为-18。

答案： -18

13. 【数学应用】某卖场销售一种微波炉和电磁炉,微波炉每台定价 800 元,电磁炉每台定价 200 元。“十一”期间商场决定开展促销活动,活动期间向客户提供两种优惠方案。
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的 $ 90\% $ 付款。
现某客户要到该卖场购买微波炉 10 台,电磁炉 $ x(x ＞ 10) $ 台。
(1)若该客户按方案一购买,需付款200x+6000元；若该客户按方案二购买,需付款______180x+7200元(用含 $ x $ 的代数式表示)。
(2)若 $ x = 30 $,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算。
(3)当 $ x = 30 $ 时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案,并计算需付款多少元。

答案： $(1)$ 求按两种方案购买所需付款金额（用含$x$的代数式表示）
- 方案一：
已知买一台微波炉送一台电磁炉，购买微波炉$10$台（花费$800×10$元），送$10$台电磁炉，还需购买$(x - 10)$台电磁炉（花费$200(x - 10)$元）。
所以按方案一购买需付款：$800×10 + 200(x - 10)=8000 + 200x - 2000=200x + 6000$（元）。
- 方案二：
微波炉每台定价$800$元，电磁炉每台定价$200$元，都按定价的$90\%$付款，购买微波炉$10$台和电磁炉$x$台。
所以按方案二购买需付款：$(800×10 + 200x)×90\%=(8000 + 200x)×0.9 = 7200 + 180x$（元）。
$(2)$ 当$x = 30$时，比较两种方案哪种合算
- 方案一：
把$x = 30$代入$200x + 6000$，得$200×30+6000=6000 + 6000=12000$（元）。
- 方案二：
把$x = 30$代入$7200 + 180x$，得$7200+180×30=7200 + 5400 = 12600$（元）。
因为$12000\lt12600$，所以按方案一购买较为合算。
$(3)$ 当$x = 30$时，给出更省钱的购买方案
购买方案：按方案一购买$10$台微波炉送$10$台电磁炉，再按方案二购买$(30 - 10)$台电磁炉。
- 计算付款金额：
购买$10$台微波炉送$10$台电磁炉花费$800×10 = 8000$元；
再按方案二购买$20$台电磁炉花费$200×20×90\%=4000×0.9 = 3600$元。
总共需付款$8000 + 3600=11600$元。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{200x + 6000}$；$\boldsymbol{7200 + 180x}$；$(2)$按方案一购买较为合算；$(3)$按方案一购买$10$台微波炉送$10$台电磁炉，再按方案二购买$20$台电磁炉，需付款$\boldsymbol{11600}$元。

14. 【综合与实践】(1)当 $ a $,$ b $ 取不同数值时,计算 $ a^{2} - b^{2} $ 及 $ (a + b)(a - b) $ 的值,并将计算结果填入下表。
| $ a $,$ b $ 的值 | $ a = 3 $,$ b = 2 $ | $ a = - 5 $,$ b = 1 $ | $ a = - 2 $,$ b = - 5 $ |
| $ a^{2} - b^{2} $ |5|24|-21|
| $ (a + b)(a - b) $ |5|24|-21|

(2)根据上表的计算,对于 $ a $,$ b $ 各取任意一个数值,计算 $ a^{2} - b^{2} $ 及 $ (a + b) \cdot (a - b) $ 的值时,蕴含了一个规律,请你写出这个规律。
$a² - b²=(a + b)(a - b)$
(3)用你发现的规律计算：$ 60.06^{2} - 39.94^{2} $。
$60.06² - 39.94²=(60.06 + 39.94)×(60.06 - 39.94)=100×20.12=2012$

答案： 解:
(1)5 24 -21 5 24 -21
(2)由
(1)的计算发现规律:a²-b²=(a+b)(a-b)。
(3)60.06²-39.94²=(60.06+39.94)×(60.06-39.94)=100×20.12=2012。