《2025年初中同步练习册七年级数学上册北师大版北京师范大学出版社》

7. 如图所示的是将三角形绕直线$ l $旋转一周得到的立体图形,则旋转的三角形是下列选项中的(B)。

A.
B.
C.
D.

答案： B

8. 将半圆绕它的直径所在直线旋转$ 360^{\circ} $,形成的几何体是(D)。
A.圆柱
B.圆锥
C.正方体
D.球

答案： D

9. 一个长方形的长为$ 4 \mathrm{cm} $,宽为$ 2 \mathrm{cm} $,将这个长方形绕一边旋转一周后得到的几何体的体积是16π cm³或32π cm³。(结果保留$ \pi $)

答案： 16π cm³或32π cm³

10. 【综合与实践】如图,在直角三角形$ ABC $中,已知$ AC 的长是 4 \mathrm{cm} $,$ BC 的长是 3 \mathrm{cm} $,$ AB 的长是 5 \mathrm{cm} $,求：
(1) 以$ AC 边所在直线为轴旋转 360^{\circ} $后得到的几何图形的体积(如图①)；
(2) 以$ AB 边所在直线为轴旋转 360^{\circ} $后得到的几何图形的体积(如图②)。
(结果保留$ \pi $)

答案： 解:
(1)以AC边所在直线为轴旋转360°后得到的几何图形的体积:$\frac{1}{3}×\pi×3^2×4=12\pi(cm^3)$。
(2)以AB边所在直线为轴旋转360°后得到的几何图形为两个共底面的圆锥,两圆锥的高分别为OA,OB,底面圆的半径是OC。由等面积法,得$OC=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4(cm)$,此几何图形的体积:$\frac{1}{3}×\pi×2.4^2×5=\frac{48}{5}\pi(cm^3)$。

11. 【数学游戏】把一个正方体分割成$ 8 $个小正方体,至少需要切$ 3 $刀,因为这$ 8 $个小正方体都只有三个面是现成的,所以其他三个面必须用刀切$ 3 $次才能切出来。那么,要把一个正方体分割成$ 27 $个小正方体,至少需要用刀切几次？为什么？

答案： 解：要把一个正方体分割成$27$个小正方体，因为$27 = 3×3×3$。
我们可以先把大正方体的长、宽、高都平均分成$3$份。
沿着长的方向切$2$刀，这样就把长分成了$3$段；沿着宽的方向切$2$刀，把宽分成了$3$段；沿着高的方向切$2$刀，把高分成了$3$段。
总共切的刀数为$2 + 2 + 2=6$（次）。
原因是：每一个方向上，要得到$3$个小正方体的长度，需要切$2$次（切的次数比段数少$1$），正方体有长、宽、高三个方向，所以至少需要切$6$次。
综上，至少需要用刀切$6$次。